Zadania - Elektrostatyka

2006-11-17 Ostatnia modyfikacja.

Zadanie

Zadanie.

Udowodnij, że

jest rozwiązaniem równania Schrödingera. Czy funkcja jest też rozwiązaniem?

Rozwiązanie

warto zauważyć, że

czyli

Funkcja falowa dała się rozłożyć na dwa czynniki, z których jeden zależy wyłącznie od położenia a drugi tylko od czasu. Jeśli wykonamy teraz podstawienie do równania Schrödingera

więc

dzieląc stronami przez otrzymamy

Równanie to jest nazywane równaniem Schrödingera bez czasu i dotyczy przypadków stacjonarnych tzn. takich gdzie potencjał U nie zależy od czasu.

Dalej pisząc o równaniu Schrödingera będę miał na myśli właśnie równanie Schrödingera bez czasu (Wtedy funkcję falową daje się rozłożyć na dwa czynniki, z których jeden zależy tylko od położenia a drugi tylko od czasu).

Podstawiając do tego równania jawnie funkcję

dostajemy

Pomiędzy energią kinetyczną i pędem w fizyce nie relatywistycznej zachodzi związek

więc równanie ma sens, dostaliśmy sumę energii potencjalnej i kinetycznej równą całkowitej energii cząstki, co jest prawdą.

Jak łatwo obliczyć funkcja ma postać

po obliczeniach dostajemy

co, podobnie jak poprzednio, można podstawić do równania Schrödingera.

Otrzymamy wtedy

Lewa strona jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej a prawa jest całkowitą energią cząstki. Wynika z tego, że lewa strona jest równa prawej, czyli funkcja również spełnia równanie Schrödingera.