Zadanie

Zadanie. Ruch zmienny.

Mając dany wykres przyśpieszenia od czasu a(t), oblicz prędkość i drogę przebytą po: t₁ = 3 s, t₂ = 7 s. (v₀ = 0, s₀ = 0)

Rozwiązanie

Dane

wykres a(t)
t₁ = 3 s
t₂ = 7 s

Wzór na prędkość:

2. Wzór na drogę:

Szukane

v i s
po upływie t₁ i t₂

Rozwiązanie

Przedstawiony ruch na wykresie możemy podzielić na 5 etapów - ze względu na przyśpieszenie w nich występujące:

Etap 1: do 3 sekundy - a₁ = 4 m/s², czas trwania etapu t'₁ = 3 s
Etap 2: od 3 do 4 sekundy - a₂ = 1 m/s², czas trwania etapu t'₂ = 1 s
Etap 3: od 4 do 6 sekundy - a₃ = -3 m/s², czas trwania etapu t'₃ = 2 s
Etap 4: od 6 do 8 sekundy - a₄ = 2 m/s², czas trwania etapu t'₄ = 2 s

t₁ = 3 s
t₁ = 3 s jest ostatnią sekuną pierwszego etapu. Tak więc jak narazie ruch odbywa się tylko ruchem jednostajnie przyśpieszonym. Aby obliczyć prędkość i drogę przebytą do trzeciej sekundy wystarczy podstawić dane do wzorów:

t₂ = 7 s
Siódma sekunda ruchu przypada na ostatni etap ruchu. Niestety, nie możemy zastosować bezpośrednio wzoru na prękość i drogę, ponieważ przyśpieszenie, które występuje w 5 etapie ruchu nie trwa od początku, a tylko od szóstej sekundy. Tak więc aby obliczyć prędkość i drogę przebytą do siódmej sekundy musimy przeanalizować każdy etap ruchu.

Etap 1:
Oznaczmy sobie przez v'₁ prędkość po pierwszym etapie, a przez s'₁ drogę przebytą. Etap pierwszy trwał t'₁ = 3 s.

Etap 2:
Mamy już wyliczone v'₁ i s'₁. Teraz zajemiemy się wyliczaniem v'₂ i s'₂, przez co analogicznie oznaczamy prędkość i drogę po 2 etapie, ale uwzględniając pierwszy etap - czyli tym razem za v₀ przyjmiemy v'₁, a s₀ = s'₁. Przyśpieszenie na tym etapie wynosi a₂, a czas trwania etapu t'₂.

Etap 3:
Etap 3 jest sytuacją analogiczną do etapu drugiego. Tym razem za prędkość początkową przyjmujemy prędkość po dwóch pierwszych etapach (v₀ = v'₂), a za drogę początkową przyjmujemy dorgę przejechaną w trakcie dwóch pierwszych etapów (s₀ = s'₂). Przyśpieszenie na etapie trzecim wynosi a₃, a czas trwania etapu trzeciego t'₃.

Etap 4:
Jako prędkość i drogę początkową ponownie przyjmiemy wartość prędkości i drogi po pierwszych trzech etapach (v₀ = v'₃, s₀ = s'₃). Przyśpieszenie na etapie 4 wynosi a₄. Ten etap od poprzednich rózni się jedynie czasem, który wykorzystam do obliczeń, ponieważ nie będziemy brali całego czasu trwania ruchu z przyśpieszeniem a₄, a tylko jego część. Od początku etapu do t₂ upływa tylko jedna sekunda, tak więc t''₄ = 1 s.

Odpowiedź:
Po upływie czasu t₁ = 3 s prędkość wynosi v = 12 m / s, a droga przejechana s = 18 m
Po upływie czasu t₂ = 7 s prędkość wynosi v = 9 m / s, a droga przejechana s = 58.5 m

Odpowiedź

Dyskusja

 

Podstawa teoretyczna

Artykuły na stronie

Przyspieszenie, jak szybko zmienia się prędkość

Równia pochyła

Własności ruchu jednostajnie zmiennego

Linki

...

Zadania z przedmiotu

Zadania