Zadanie

Zadanie. Ruch w polu grawitacyjnym.

Zbadać ruch kulki materialnej poruszającej się wzdłuż prostoliniowego kanału przewodzącego przez środek Ziemi, jeżeli wiemy, że wewnątrz Ziemi siła działająca na kulkę jest proporcjonalna do jej odchylenia od środka Ziemi i jest skierowana do jej środka.

Rozwiązanie

Rozwiązanie

Aby określić, w jaki sposób porusza się kulka opisana w zadaniu należy najpierw ustalić postać siły na nią działającej. Na powierzchni Ziemi na kulkę działa ciężar

gdzie G jest stałą powszechnej grawitacji, M oznacza masę Ziemi, m to masa kulki, R to promień Ziemi. Jeżeli kulka znajduje się pod powierzchnią Ziemi to wtedy siła grawitacji działająca na nią pochodzi tylko od tej części masy planety, jaka znajduje się we wnętrzu wyobrażonej sfery o promieniu r równym odległości kulki od środka Ziemi. Masę taką można wyrazić wzorem

gdzie
V - jest objętością sfery,
- oznacza gęstość planety (zakładamy, że Ziemia jest jednorodna). Idąc dalej wzór powyższy można zapisać wprost

Na tej podstawie możemy zapisać wyrażenie na siłę we wnętrzu jednorodnej planety

W zadaniu nie ma nigdzie mowy o gęstości Ziemi, ale można ją obliczyć dzieląc jej masę przez objętość.

Po podstawieniu do prawa powszechnego ciążenia otrzymamy

Aby zaznaczyć, że siła jest skierowana przeciwnie do kierunku promienia przed wyrażeniem należy dostawić minus, a wtedy

Widać teraz wyraźnie jaka jest dokładnie zależność F(r). Można teraz wykorzystać drugą zasadę dynamiki Newtona

F = ma

czyli

Otrzymaliśmy równanie, którego rozwiązaniem jest funkcja r(t), której druga pochodna jest równa tej funkcji pomnożonej przez stałą. Spróbujemy zgadnąć rozwiązanie. W przypadku wahadła sprężynowego jest również liniowa zależność siły od położenia, a rozwiązaniem jest funkcja typu

Druga pochodna tej funkcji jest więc równa

Można zauważyć, że

Można to porównać z równaniem dotyczącym bezpośrednio tego zagadnienia, a okaże się, że

Warto zwrócić uwagę, że

więc

czyli

Naturalnie amplituda drgań nie może być większa niż R, (gdy A = R wtedy ruch kulki zaczyna się z powierzchni Ziemi). Ostatecznie możemy zapisać, że zależność położenia od czasu jest opisana funkcją

Okazuje się, że kulka będzie poruszać się ruchem periodycznym o okresie

Odpowiedź

 

Dyskusja

 

Podstawa teoretyczna

Artykuły na stronie

Spadek swobodny

Pole grawitacyjne - wzory

Własności ruchu jednostajnie zmiennego

Ruch drgający i falowy

Linki

...

Zadania z przedmiotu

Zadania