|
Ruch
drgający i falowy
Ruch drgający prosty
Ruch drgający prosty jest ruchem najczęściej spotykanym w
przyrodzie. Przykładami takiego ruchu są: ruch struny instrumentu,
ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, ruch wahadła czy
ruch tłoka w silniku. Przyczyną tego ruchu jest siła sprężystości.
Wielkości związane z tym ruchem:
x - wychylenie w danej chwili, odległość ciała od położenia
równowagi
A - amplituda drgań, największe wychylenie z położenia równowagi
T - okres drgań
f - częstotliwość drgań, ilość drgań w jednostce czasu
- częstość kołowa
- faza drgań =
Ruch drgający można rozpatrywać jako rzut ruchu po okręgu.
Z rysunku odczytujemy, że:
Przekształcając równania otrzymujemy równanie ruchu drgającego.
Ruch
drgający, odbywający się pod działaniem
siły sprężystości, w którym przyspieszenie
w każdym punkcie ruchu jest wprost proporcjonalne
do wychylenia, nosi nazwę ruchu drgającego
prostego albo harmonicznego.Ciało drgające
to oscylator harmoniczny. |
|
Jak widać w równaniu ruchu drgającego wychylenie w ruchu harmonicznym
zmienia się w czasie sinusoidalnie. Tą zależność przedstawia
wykres:
Prędkość, przyspieszenie
i siła
Rozważmy ponownie ruch harmoniczny jako rzut ruchu jednostajnego
po okręgu. Wykorzystując zależności pokazane na rysunku wyprowadźmy
wzór na prędkość w ruchu harmonicznym.
prędkość ciała poruszającego się po okręgu
składowa prędkości
promień okręgu
Korzystamy z wzoru na prędkość w ruchu po okręgu:
Jak wynika z rysunku za r możemy podstawić A (największe wychylenie)
i otrzymuje wzór na prędkość w ruchu harmonicznym.
Prędkość maksymalną ciała osiąga w położeniu równowagi.
Zależność prędkości od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia
wykres:
Wzór na prędkość w ruchu harmonicznym można także wyprowadzić
obliczając pochodną V=dx/dt.
Wykonajmy podobny rysunek i wyprowadźmy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym.
Korzystając z rysunku odczytujemy zależności:
Za podstawiamy wzór na przyspieszenie w ruchu po
okręgu:
Otrzymujemy wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym:
Znak minus oznacza, że kierunek przyspieszenia jest przeciwny
względem kierunku wychylenia.
Przyspieszenie maksymalne ciało osiąga w punkcie największego
wychylenia:
Zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym przedstawia
wykres:
Wzór na przyspieszenie w ruchu harmonicznym można wyprowadzić
także obliczając pochodną a=dV/dt.
Ruch drgający prosty jest ruchem niejednostajnie zmiennym.
Siła w ruchu harmonicznym jest wprost proporcjonalna
do wychylenia i przeciwnie zwrócona. Możemy wyprowadzić jej
wzór, korzystając z II zasady dynamiki:
Po podstawieniu wartości przyspieszenia w ruchu harmonicznym
otrzymujemy:
Aby zapisać powyższą równość w prostszy sposób wprowadza się
współczynnik proporcjonalności k:
A więc wzór na siłę w ruchu harmonicznym jest następujący:
Przemiany energii
Ciało drgające posiada energię kinetyczną i potencjalną sprężystości.
Wyprowadźmy wzory na obie energie.
Energia potencjalna sprężystości wyraża się ogólnym
wzorem:
Po podstawieniu do tego wzoru równanie ruchu drgającego otrzymujemy
wzór na energię potencjalną sprężystości w ruchu drgającym:
Energia kinetyczna wyraża się ogólnym wzorem:
Wstawiamy do niego wzór na prędkość prędkość ruchu harmonicznym
i otrzymujemy wzór na energię kinetyczną w ruchu drgającym:
A więc energia całkowita ciała drgającego wynosi:
Energia całkowita jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy.
Wahadło matematyczne
Wahadło
matematyczne to punkt materialny zawieszony
na nieważkiej i nierozciągliwej nici. |
|
Dla niewielkich kątów wahadło matematyczne wykonuje ruch harmoniczny
( )
Na rysunku przedstawione są działające siły, gdzie siły F
i F' to siły składowe. Siłę F' równoważy
siła naciągu nitki N, więc o ruchu wahadła decyduje tylko
siła F. Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus:
Porównujemy obie wartości:
Otrzymany wzór skłania ku wnioskowi, że siła jest wprost proporcjonalna
do wychylenia i przeciwnie zwrócona, więc potwierdza to wcześniejsze
stwierdzenie, że jest to ruch harmoniczny.
Wyprowadźmy wzór na okres drgań wahadła matematycznego.
Porównujemy wzory na stałą k:
Okres wahadła matematycznego jest wprost proporcjonalny do
pierwiastka z długości wahadła.
Gdyby wahadło matematyczne znajdowało się nie tylko w polu
grawitacyjnym, to okres drgań wahadło wynosiłby:
wypadkowe przyspieszenie
Drgania tłumione (gasnące)
Z doświadczenia wiemy, że wahadło pobudzone jednorazowo do
drgań przez wychylenie go z położenia równowagi waha się w
miarę upływu czasu coraz słabiej, aż wreszcie zatrzymuje się.
Świadczy to o rozpraszaniu energii. Drgania takie nazywamy
drganiami tłumionymi lub gasnącymi.
Ciało drgające musi wykonywać pracę przeciwko sile oporu,
zużywając na to swoją energię. Jeśli maleje energia ciała,
to maleje również amplituda drgań ( )
- czas relaksacji
relaksacji jest to czas, po którym amplituda drgań zmniejsza
się e razy. (e=2,71872; e - podstawa logarytmu naturalnego).
- współczynnik tłumienia
logarytmiczny dekrement tłumienia
Drgania wymuszone. Rezonans
mechaniczny
Drgania, które wykonuje ciało wychylone ze stanu równowagi
i pozostawione samemu sobie, tj. nie poddane działaniu dodatkowych
sił zewnętrznych określamy mianem drgań własnych ciała. Drgania
własne ciała mają zawsze tę samą charakterystyczną dla niego
częstotliwość, niezależnie od sposobu wzbudzenia.
Wiemy, że zanikaniu wahań wahadła można zapobiec przez okresowe
pobudzanie go do ruchu. Jeżeli energia dostarczana w każdym
impulsie pobudzającym zrównoważy energię rozpraszaną, to drgania
wahadła staną się niegasnące. Takie drgania wzbudzone za pomocą
zmieniających się okresowo sił zewnętrznych albo też przenoszone
z innego ciała drgającego nazywamy drganiami wymuszonymi.
Przeprowadźmy doświadczenie:
Pobudzamy do drgań wahadło A, obserwujemy, że jego drgania
stopniowo zanikają, coraz bardziej zaczyna się wahać wahadło
C. Wahadło B pozostaje cały czas w spoczynku.
Zaobserwowaliśmy zjawisko rezonansu mechanicznego,
czyli zjawisko przekazywania drgań (energii drgań) ciał o
takiej samej częstotliwości drgań własnych.
Ruch drgań wymuszonych wyrażana równanie:
gdzie to siła zewnętrzna, która powoduje drgania wymuszone.
Wyprowadźmy wzór na amplitudę drgań w tym ruchu poprzez podstawienie
do równania ruchu drgań wymuszonych wzorów na a, x i w ruchu drgającym:
- maksymalna wartość siły
Zamiast k podstawiamy wzór:
- częstość drgań własnych
Gdy dąży do , to amplituda drgań dąży do nieskończoności.
Mamy do czynienia z rezonansem mechanicznym.
Nieskończony wzrost amplitudy nie ma sensu fizycznego i w
praktyce nie pozwalają na to siły oporu lub układ ulega wcześniej
zniszczeniu.
Wykres przedstawia dwa ujęcia tego zjawiska: teoretyczne (niebieskim
kolorem) i praktyczne (czerwonym kolorem).
Zjawisko rezonansu jest wykorzystywane w różnorodnych urządzeniach
akustycznych, w obwodach prądu zmiennego i w fizyce atomowej.
Niekiedy jednak należy unikać jego skutków. Drgania maszyn
lub urządzeń, albo też powtarzające się okresowo podmuchy
wiatru, mogą się bowiem znaleźć w rezonansie z drganiami własnymi
budynków, mostów i spowodować ich zniszczenie w wyniku ogromnego
wzrostu amplitudy drgań wymuszonych.
Wahadło fizyczne
Wahadło
fizyczne jest ciało sztywne dowolnego kształtu
zawieszone na osi poziomej ponad środkiem
ciężkości i wahające się wokół niej. |
|
Z rysunku odczytujemy wartości dla funkcji sinus, a następnie
je porównujemy:
Siła jest wprost proporcjonalna do wychylenia i przeciwnie
zwrócona, a więc dla niewielkich wychyleń bryła sztywna wykonuje
ruch harmoniczny.
Wyprowadźmy wzór na przyspieszenie i na okres drgań
wahadła fizycznego:
Porównujemy wzory na moment M dla ruchu obrotowego (gdzie
r to odległość między środkiem ciężkości a punktem zaczepienia
bryły sztywnej):
Otrzymujemy wzór na przyspieszenie wahadła fizycznego. Jest
ono wprost proporcjonalne do wychylenia i odwrotnie proporcjonalne
do momentu bezwładności I.
Porównujemy wzory na przyspieszenie (dla wahadła fizycznego
i w ruchu harmonicznym):
Otrzymujemy wzór na okres drgań wahadła fizycznego.
Długość zredukowana wahadła fizycznego równa jest długości
wahadła matematycznego, który ma taki sam okres drgań.
Ruch falowy. Rodzaje fal
Falą
mechaniczną nazywamy zjawisko rozchodzenia
się zaburzeń ośrodka. Źródłem fali jest
ciało drgające. |
|
Ośrodek sprężysty ma tę właściwość, ze siłom, które usiłują
spowodować jego odkształcenie, przeciwstawia siły sprężyste,
które po usunięciu sił odkształcających usuwają odkształcenie.
Wytrącenie zespołu cząsteczek takiego ośrodka z położenia
równowagi powoduje ich drganie wokół tego położenia, przy
czym wskutek jego właściwości sprężystych zaburzenie przenosi
się z jednej warstwy ośrodka na następną, wprawiając ją w
ruch drgający o takim samym okresie drgań. Takie właśnie przenoszenie
drgań nazywamy ruchem falowym lub krótko falą.
Przykładem ruchu falowego są fale rozchodzące się kołowo na
powierzchni wody po wrzuceniu kamienia. Obserwując zachowanie
się trocin lub słomek pływających na powierzchni wody, można
łatwo stwierdzić, że rzeczywisty ruch cząsteczek wody polega
na ich podnoszeniu się i opadania w jednym miejscu, natomiast
sama fala, przenosząca te drgania, rozchodzi się po powierzchni
wody. Ośrodek nie porusza się więc wraz z rozchodzącą się
falą, lecz jedynie jego cząsteczki drgają wokół położeń równowagi,
zaś istotę ruchu falowego stanowi przenoszenie się tych drgań
na coraz to dalsze warstwy ośrodka.
Fale mechaniczne nie mogą rozchodzić się w próżni. Rozchodzą
się w ośrodkach sprężystych.
Promień
fali to kierunek rozchodzenia się fali. |
|
Czoło
fali jest to zbiór punktów, do których dotarła
fala. |
|
Powierzchnia
falowa to zbiór punktów mających tą samą
fazę drgań. |
|
Fale mechaniczne (ze względu na wymiar) dzielimy na:
- fale liniowe (jednowymiarowe) - np. na gumowym wężu,
- fale powierzchniowe (dwuwymiarowe) - np. na wodzie,
- fale przestrzenne (trójwymiarowe) - np. dźwięk w powietrzu.
W zależności od kierunku drgań cząsteczek ośrodka w stosunku
do kierunku rozchodzenia się fali rozróżnia się fale poprzeczne i fale podłużne.
Fala
poprzeczna to taka fala, której cząsteczki
ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do
kierunku rozchodzenia się fali. |
|
Można ją otrzymać na przykład przez szybkie poruszanie się
w górę i w dół jednego końca gumowego sznura, przymocowanego
drugim końcem do ściany. Powstanie fali poprzecznej wiąże
się ze zmianą kształtu ciała, a więc może się ona rozchodzić
jedynie w ośrodkach mających sprężystość postaci (głównie
w ciałach stałych). Cząsteczki ośrodków doskonale sprężystych
wykonują drgania harmoniczne, zatem fala poprzeczna rozchodząca
się w takim ośrodku ma postać sinusoidy.
Prędkość fali poprzecznej w płynach lub cienkich, długich
prętach wynosi:
- współczynnik ściśliwości płynu; moduł sztywności
ciała stałego
- gęstość ośrodka
Fala
podłużna jest to fala, której cząsteczki
ośrodka drgają w kierunku zgodnym z kierunkiem
rozchodzenia się fali. |
|
Można ją otrzymać uderzając z jednej strony młotkiem w koniec
długiej sprężyny z cienkiego drutu zawieszonej na niteczkach.
Obserwujemy wówczas zagęszczanie się zwojów sprężyny w pobliżu
miejsca uderzenia i przesuwanie się tego zagęszczenia wzdłuż
jej osi, przy czym kierunek drgań zwojów sprężyny, jest zgodny
z kierunkiem rozchodzenia się fali.
Podobne zjawisko rozchodzenia się drgań cząsteczek można zaobserwować
w rurze wypełnionej powietrzem, jeżeli w jednym z jej końców
wywołane zostanie zagęszczenie. Rozchodząca się w rurze fala
podłużna polega na zagęszczaniu i rozrzedzaniu drgających
warstw powietrza.
Ponieważ rozchodzenie się fal podłużnych jest związane z okresowymi
zmianami gęstości ośrodka, fale te mogą się rozchodzić we
wszystkich ośrodkach wykazujących sprężystość objętości, a
więc zarówno w ciałach stałych, cieczach jak i w gazach.
Prędkość fali podłużnej w płynach lub cienkich, długich prętach
wynosi:
- moduł Younga
- gęstość ośrodka
Ze względu na czoło fali fale dzielą się na płaskie i kuliste.
Jeżeli drgania rozchodzą się w jednym kierunku, to powierzchnie
fali są płaszczyznami i mówimy o fali płaskiej. Jeżeli
zaś fala wywołana przez punktowe źródło drgań rozchodzi się
w ośrodku jednorodnym, to prędkość jej jest jednakowa we wszystkich
kierunkach i powierzchnia fali ma postać kuli. Mówimy wtedy
o fali kulistej.
Wielkości charakteryzujące falę to:
- amplituda fali
- okres fali
- częstotliwość fali
- prędkość fali (prędkość fali w danym ośrodku
jest stała)
- długość fali (odległość między najbliższymi
cząsteczkami drgającymi w zgodnych fazach)
Fala przebywa drogę równą swojej długości w czasie okresu.
Zasada Huygensa
Opis ruchu falowego komplikuje się z chwilą, gdy czoło fali
dociera do granicy obszaru swobodnego rozprzestrzeniania się
fali, lub do granicy dwu ośrodków, w których prędkości rozchodzenia
się fal są różne. Metody opisu ruchu falowego w tym przypadku
dostarcza zasada Huygensa.
U źródła zasady Huygensa leżą trzy obserwacje doświadczalne:
- Drgające źródła
punktowe wysyłają w ośrodku jednorodnym i izotropowym
fale koliste.
- Fale wysyłane
przez różne źródła rozchodzą się w ośrodku niezależnie
od siebie (zasada superpozycji).
- Fale nie rozchodzą
się w ośrodku natychmiastowo, lecz ze skończoną prędkością
- coraz to nowe punkty ośrodka są pobudzane do drgań.
Na podstawie tych obserwacji Huygens wysunął hipotezę, że:
Każdy
punkt ośrodka, do którego dochodzi fala,
można traktować jako elementarne źródło
wtórnej fali kolistej. |
|
Jest to tzw. zasada Huygensa.
Równanie fali
Aby wyprowadzić równanie fali posłużymy się wykresem zależności
wychylenia od odległości od źródła.
- wychylenie
- odległość od źródła
Wykorzystujemy równanie ruchu drgającego na opisanie położenia
punktów A i B.
Punkt A -
Punkt B -
- czas, w którym fala przebywa drogę
Podstawiamy za powyższy wzór i przekształcamy, aby otrzymać
równanie fali w prostszej postaci:
Równanie fali można także wyrazić przy pomocy liczby falowej
k, której wartość wstawiona do otrzymanego wzoru da inną postać
równania fali:
Interferencja fal mechanicznych
Podobnie, jak w ruchach punktu materialnego materialnego ciała
sztywnego, w ruchu falowym obowiązuje zasada niezależności
ruchów. Jeżeli w ośrodku rozchodzi się kilka fal, wysyłanych
jednocześnie przez różne źródła, to wypadkowy ruch każdej
cząstki ośrodka jest złożeniem ruchów, jakie wykonywałaby
ta cząstka przy rozchodzeniu się każdej fali z osobna. Zasada
niezależności ruchów w zastosowaniu do ruchu falowego nosi
nazwę zasady superpozycji fal.
Zjawisko
nakładania się dwu lub więcej fal harmonicznych
harmonicznych tej samej długości, prowadzące
do powstania ustalonego w czasie rozkładu
przestrzennego obszarów wzmocnienia i osłabienia
fali, nazywamy interferencją fal. |
|
Interferencja to zjawisko typowe dla fal.
WZMOCNIENIE
Jeżeli obie fale będą miały takie same amplitudy to nastąpi
maksymalne wzmocnienie.
Wzmocnienie następuje w takich przypadkach:
Maksymalne wzmocnienie fali następuje we wszystkich punktach,
dla których różnica odległości od źródeł równa się całkowitej
wielokrotności długości fali.
WYGASZENIE
Wygaszenie następuje we wszystkich punktach, dla których różnica
odległości od źródeł jest równa nieparzystej wielokrotności
połowy długości fali.
Wyprowadźmy warunki na wygaszenie i wzmocnienie fal mechanicznych (korzystając z równania fali):
Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych:
I. Wygaszenie nastąpi, gdy amplituda będzie równa zero:
Zamiast k podstawiamy
i otrzymujemy:
II. Wzmocnienie nastąpi, gdy:
Zamiast k podstawiamy
i otrzymujemy:
Dyfrakcja fal mechanicznych
Dyfrakcją
fali nazywamy ugięcie fali, czyli zmianę
kierunku rozchodzenia się fali na szczelinach,
krawędziach, przeszkodach, itp. |
|
Zjawisko dyfrakcji jest typowym dla fal. Tłumaczy je zasada
Huygensa. Łatwo jest zaobserwować dyfrakcję fal, ustawiając
w zbiorniku z wodą przegrodę z wąską szczeliną i wytwarzając
po jednej stronie falę płaską. W chwili, gdy fala ta dojdzie
do przegrody - szczelina staje się źródłem fali kołowej, rozchodzącej
się z niej we wszystkich kierunkach po drugiej stronie przegrody.
Tą sytuację ilustruje rysunek:
Umieszczając w zbiorniku z wodą przegrodę z dwiema szczelinami,
równoległą do powierzchni wytwarzanej fali płaskiej, możemy
obserwować zarówno dyfrakcję jak i interferencję fal ugiętych.
Ponieważ powierzchnia fali płaskiej dochodzi do obydwu szczelin
w tej samej chwili, stają się one, zgodnie z zasadą Huygensa,
źródłami elementarnych fal kołowych o jednakowych fazach i
amplitudach. amplitudach wyniku nakładania się fal w tych
punktach powierzchni wody, do których dojdą fale o jednakowych
fazach, następuje wzmocnienie drgań i powierzchnia wody staje
się silniej pofałdowana, w innych zaś, do których dojdą fale
o fazach przeciwnych , następuje wygaszenie drgań i powierzchnia
wody staje się gładka, tworząc charakterystyczne "linie węzłów".
Zasada Fermata
Fala
biegnąca z jednego punktu do drugiego przebywa
drogę, na której przebycie trzeba w porównaniu
z innymi sąsiednimi drogami minimum lub
maksimum czasu. |
|
Zasada ta prowadzi do prawa rozchodzenia się światła po liniach
prostych w ośrodkach jednorodnych oraz do praw odbicia i załamania
fal.
Odbicie fal mechanicznych
Kątem
padania nazywamy kąt zawarty między promieniem
fali padającej, a prostą prostopadłą (normalną)
do płaszczyzny odbijającej. |
|
Kątem
odbicia nazywamy kąt zawarty między promieniem
fali odbitej, a prostą prostopadła (normalną)
do płaszczyzny odbijającej. |
|
PRAWO ODBICIA
Kąt
padania jest równy kątowi odbicia. Promień
fali padającej, promień fali odbitej i prosta
prostopadła (normalna) płaszczyzny odbijającej
leżą w jednej płaszczyźnie. |
|
Przy odbiciu fali od ośrodka bardziej sztywnego następuje
zmiana fazy na przeciwną.
Wyprowadzenie prawa odbicia:
I. geometrycznie
Odcinki BC i AD muszą być przebyte w tym samym czasie, więc:
II. z zasady Fermata
Z rysunku na podstawie twierdzenia Pitagorasa odczytujemy,
że:
Drogę jaką przebyła fala od punktu A do B oznaczamy literą
d:
Obliczamy czas, w którym fala pokonała drogę z punktu A do
B:
Obliczamy pochodną z t:
Obliczoną pochodną przyrównujemy do zera, gdyż funkcja osiąga
maksimum lub minimum, gdy jej pochodna ma wartość zero.
Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus dla obu kątów
zaznaczonych na rysunku:
A następnie wstawiamy je do wyżej otrzymanego wzoru i uzyskujemy:
Załamanie fal mechanicznych
Fala ulega załamaniu, gdy przechodzi z jednego ośrodka do
drugiego.
PRAWO ZAŁAMANIA
Stosunek
sinusa kąta padania do sinusa kąta załamania,
zwany współczynnikiem załamania n ośrodka
drugiego względem pierwszego, jest równy
stosunkowi prędkości rozchodzenia się fali
w ośrodku pierwszym do prędkości rozchodzenia
się fali w ośrodku drugim. w obu ośrodkach.
Promień fali padającej, promień fali załamanej
i prosta prostopadła (normalna) do granicy
ośrodków leżą w jednej płaszczyźnie. |
|
Wyprowadzenie prawa załamania:
I. geometrycznie
Fala musi pokonać drogę BC w jednym ośrodku w tym samym czasie
co drogę AD w drugim ośrodku.
Przekształcamy równanie i otrzymujemy:
II. z zasady Fermata
Z rysunku na podstawie twierdzenia Pitagorasa odczytujemy,
że:
Drogę jaką przebyła fala od punktu A do B oznaczamy literą
s:
Obliczamy czas, w którym fala pokonała drogę z punktu A do
B:
Obliczamy pochodną z t:
Obliczoną pochodną przyrównujemy do zera, gdyż funkcja osiąga
maksimum lub minimum, gdy jej pochodna ma wartość zero.
Z rysunku odczytujemy wartość funkcji sinus dla obu kątów
zaznaczonych na rysunku:
A następnie wstawiamy je do wyżej otrzymanego wzoru i uzyskujemy:
Fala stojąca
Szczególnym przypadkiem interferencji fal jest powstawanie
fali stojącej, będącej wynikiem nakładania się dwóch fal o
jednakowych amplitudach, częstościach i prędkościach, rozchodzących
się w przeciwnych kierunkach.
Falę stojącą można otrzymać najprościej na naciągniętym sprężystym
sznurze. Jeśli jeden z jego końców tego sznura wprawimy w
ruch drgający harmoniczny, to biegnąca wzdłuż niego fala,
po dotarciu do punktu zamocowania sznura odbije się od niego,
przy czym fala odbita ma tę samą częstotliwość i amplitudę,
co pierwotna fala, lecz porusza się w przeciwnym kierunku.
W wyniku nakładania się fali pierwotnej i fali odbitej cząsteczki
sznura uzyskują, w zależności od ich położenia wzdłuż kierunku
rozchodzenia się fali, różne amplitudy drgań, zawarte w granicach
od zera do wartości podwójnej amplitudy fali pierwotnej. Drgania
te nazywamy właśnie falą stojącą.
Długość ośrodka musi być równa całkowitej wielokrotności połowy
długości fali.
Strzałki
fali stojącej to punkty o największej amplitudzie
drgań. |
|
Węzły
fali stojącej to punkty niedrgające (nie
wykonujące drgań). |
|
Wyprowadźmy równanie fali stojącej oraz warunki na strzałki
i węzły. Skorzystamy z równania fali:
Zgodnie z definicją fali stojącej dodajemy równania obu fal:
Korzystamy ze wzoru na sumę funkcji trygonometrycznych:
Otrzymaliśmy wzór równania fali stojącej, z którego możemy
wyprowadzić warunki na węzeł i strzałkę fali stojącej.
WĘZEŁ
Fala stojąca jest węzłem, gdy odległość jest równa nieparzystej
wielokrotności ćwiartki długości fali.
Wykażmy, że między dwoma sąsiednimi węzłami jest zawsze połowa
długości fali.
Korzystając z powyższych równań uzyskamy wzór na różnicę odległości
między dwoma sąsiednimi węzłami.
STRZAŁKA
Fala stojąca jest strzałką, gdy odległość jest równa całkowitej
wielokrotności połowy długości fali.
Wykażmy, że między dwoma sąsiednimi strzałkami jest zawsze
połowa długości fali.
Energia fali
Fala przenosi energię od źródła drgań, które ją wysyła, przy
czym energia ta równoważna jest pracy zużytej na zakłócenie
równowagi cząsteczek ośrodka, w którym rozchodzi się fala
(pomijając straty na pokonanie oporów ośrodka).
Badania wykazały, że energia E przenoszona przez falę jest
wprost proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości
fali. Stosunek przepływającej energii E do iloczynu powierzchni
fali S i czasu t, w którym przepływa jest miarą natężenia
fali I.
Jednostką natężenia fali w układzie SI jest W/m2.
W przypadku fali płaskiej rozchodzącej się w ośrodku sprężystym
i wysyłanej przez źródło drgań o stałej mocy
,
natężenie fali ma wartość stałą, gdyż jej
powierzchnia S jest stała.
W przypadku fali kulistej natężenie fali w punkcie P odległym
o r od źródła drgań O wynosi:
skąd wynika, że dla źródła drgań o stałej mocy
natężenie fali kulistej jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu
odległości od źródła drgań.
W ośrodkach materialnych, czyli w rzeczywistych gazach, cieczach
i ciałach stałych, w których występuje tarcie międzycząsteczkowe,
energia, jaką niesie ze sobą fala, ulega rozproszeniu, jest
bowiem zużywana na pokonanie tarcia i zamienia się na ciepło.
Wskutek rozpraszania energii amplituda fali maleje ze wzrostem
odległości od źródła drgań. Taka fala nosi nazwę fali zanikającej
lub gasnącej.
|
2006 iwiedza |
|