iwiedza ...cała wiedza to fizyka, reszta to filatelistyka...

Mechanika lotow kosmicznych
Źródło: Baza Wiedzy o Kosmosie grupy pl.sci.kosmos

Na czym polega asysta grawitacyjna
Co to jest I, II, III prędkość kosmiczna
Z jaką prędkością liniową poruszają się orbitujące satelity
Co to jest "trajektoria Hohmanna"
Czym są "punkty Lagrange'a"
Jak definiujemy orbitę geostacjonarną (fizycznie i urzędowo)
Co to jest orbita "słonecznie synchroniczna" (Sun-synchronous)
Jaką prędkość osiągnę ciągle przyspieszając np. z 1g

Na czym polega asysta grawitacyjna

Asysta (wsparcie grawitacyjne) jest w zasadzie przekazaniem części energii kinetycznej dużego ciała kosmicznego (praktycznie planety) podróżującemu statkowi kosmicznemu.

Należy w tym celu wykonać manewr, który w swej optymalnej formie będzie przypominał sprężyste "odbicie" statku od planety. Powinniśmy poruszać się w kierunku planety z prędkością v, po silnie spłaszczonej orbicie hiperbolicznej, natomiast planeta powinna poruszać się w kierunku przeciwnym (na wprost nas) z prędkością U. Z punktu widzenia planety, najpierw spadamy w jej kierunku z prędkością U+v, następnie (po okrążeniu planety po orbicie hiperbolicznej) odlatujemy w przestrzeń również z prędkością U+v. Jednak z punktu widzenia obserwatora zewnętrznego (np. Słońca) uzyskujemy końcową prędkość 2U+v, podczas gdy planeta w zasadzie nie zmienia swej prędkości (zakładając, że masa statku m jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą planety M). Przypomina to odbicie (w czołowym zderzeniu) niewielkiej kuli bilardowej od kuli wielokrotnie większej. Dokładniej, z zasady zachowania energii i pędu otrzymujemy następujące związki między prędkościami przed i po wykonaniu manewru:

M*U12 + m v12 = M *U22 + m*v22

M*U1 - m*v1 = M*U2 + m*v2

Rozwiązując względem v2 otrzymujemy:

v2 = ((1-q)v1 + 2*U1)/(1+q)

Ponieważ q jest bliskie 0, możemy to przybliżyć otrzymanym wcześniej oszacowaniem v2 = v1 + 2*U1. Oczywiście większość rzeczywistych manewrów nie jest prostym zwrotem o 180 stopni, jednak zasada ogólna pozostaje ta sama. Załóżmy, że planeta porusza się wzdłuż osi x, a ruch statku kosmicznego odbywa się w płaszczyźnie x,y. Załóżmy też, że pierwotny (asymptotyczny) kierunek lotu statku przecina oś x pod kątem theta, oraz że tor lotu jest symetryczny względem x. Pierwotny wektor prędkości statku to:

v1x = -v1*cos(theta) v1y = v1*sin(theta)

natomiast wektor prędkości końcowej:

v2x = v1*cos(theta) + 2u v2y = v1*sin(theta)

Tak więc prędkość początkowa wynosi v1, a końcowa:

v2 = (v1 + 2*u) sqrt[ 1 - 4*u*v1(1-cos(theta))/(v1+2*u)2 ]
sqrt()-pierwiastek kwadratowy

Rozważmy dla przykładu prędkość początkową równą U (zarówno dla planety, jak statku). Wówczas powyższa zależność upraszcza się do:

v2 = v1*sqrt[5 + 4*cos(theta)]

stąd dla theta=0 mamy v2 = 3 v1. Z drugiej strony, dla theta=pi mamy v2 = v1, co jest zrozumiałe, gdyż odpowiada sytuacji ruchu planety i statku w tym samym kierunku i z tą samą prędkością. Bardziej realistyczny jest przypadek, gdy statek porusza się prawie prostopadle do toru ruchu planety (theta = pi/2) i przelatuje tuż za nią. W tym przypadku statek doznaje odchylenia w kierunku ruchu planety o kąt zgodny z powyższymi wzorami, przy czym prędkość rośnie sqrt(5) = 2.23 razy w stosunku do pierwotnej. 

Gdyby planety były punktowe, teoretycznie możliwe jest osiągnięcie nieskończonej prędkości w skończonym czasie dzięki przelotom w pobliżu odpowiednio dobranego ich zestawu (w dość wymyślnym układzie planetarnym). Oczywiście w praktyce uzyskiwane prędkości są ograniczone przez to, że pole grawitacyjne planet rozciągające się w bezpiecznej odległości poza ich powierzchnią i atmosferą może być zbyt słabe na "przechwycenie" (wymaganą zmianę kierunku lotu) zbyt szybko poruszającego się statku. Podczas misji NASA sondy wielokrotnie przy okazji tego typu manewrów muskały górne warstwy atmosfery Wenus i Ziemi.

Co to jest I, II, III prędkość kosmiczna

zobacz również :: Prędkości kosmiczne ::

I prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby mógł on orbitować wokół Ziemi lub innego ciała kosmicznego, np. planety. Ściśle jest to prędkość na kołowej orbicie o promieniu równym średniemu promieniowi danego ciała kosmicznego, wokół punktowej (lub kulistej, o sferycznie równomiernym rozkładzie gęstości) masy, równej masie tego ciała. Oczywiście jest to pewna idealizacja i nie odpowiada rzeczywistemu przypadkowi np. rakiety startującej z Ziemi, która to musi pokonać jeszcze opory atmosfery i dodatkowo wznieść się na wysokość, na której atmosfera jest wystarczająco rozrzedzona, dla normalnego ruchu orbitalnego. Prędkość tą otrzymamy obliczając przyspieszenie grawitacyjne: a=F/m=G*M/r2 i porównując z przyspieszeniem dośrodkowym w ruchu po okręgu a=v2/r. Stąd v=sqrt(G*M/r), gdzie G - stała grawitacji, M - masa ciała kosmicznego, r - promień ciała kosmicznego. Po podstawieniu wartości liczbowych dla Ziemi dostajemy v1=7,91 km/s. W rzeczywistości rakiety startując z Ziemi na wschód otrzymują już część prędkości z ruchu rotacyjnego planety. Dlatego też kosmodromy najchętniej buduje się jak najbliżej równika, gdzie zysk prędkości jest największy (w przypadku startu z równika Ziemi wynosi ok. 463 m/s).

II prędkość kosmiczna to prędkość, jaką należy nadać obiektowi, aby wyrwał się z grawitacji danego ciała kosmicznego. Ściśle jest to prędkość, jaką musi otrzymać dany obiekt na powierzchni danego ciała kosmicznego, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą. Obliczamy ją znajdując różnicę w energii obiektu znajdującego się na powierzchni danego ciała kosmicznego oraz w nieskończoności. Energia w nieskończoności równa jest 0, natomiast na powierzchni jest sumą energii potencjalnej -G*M*m/r oraz kinetycznej m*v2/2. Dostajemy więc równanie m*v2/2-G*M*m/r=0, z którego wynika v=sqrt(2*G*M/r). Podstawienie danych liczbowych dla Ziemi daje v2=11,19 km/s. Widać więc, że obie prędkości różnią się o czynnik sqrt(2)=1,4142...
Wszystko to przy założeniu, że nie ma innego ciała kosmicznego oprócz rozpatrywanego - a że zwykle inne ciała są (w przypadku np. Układu Słonecznego), więc tor lotu w praktyce nie jest parabolą, bo zaginają go po swojemu oddziaływania grawitacyjne tych innych ciał (Słońca, Księżyca...).

III prędkość kosmiczną definiujemy analogicznie do drugiej, tym razem za obiekt, z którego uciekamy, przyjmując Układ Słoneczny. Zachowując warunek, że jest to prędkość liczona względem powierzchni Ziemi, za r musimy wstawić średnią odległość Ziemi od Słońca, za M masę Słońca (która skupia większość masy układu). Daje to v3=42 km/s. Warto jednak pamiętać, że startująca rakieta ma już pewną prędkość związaną z orbitalnym ruchem ciała kosmicznego, więc w istocie nie musi ona się rozpędzać aż do tej prędkości, wystarczy około 16,7 km/s dla startu z Ziemi. Sondy, które opuściły nasz Układ Słoneczny część energii otrzymały także kosztem planet olbrzymów (asysta grawitacyjna). Zasadniczo podaje się ją względem Słońca, ale można podać dla innego punktu startu (im dalej od ciała, tym mniejsza prędkość ucieczki).

Można się jeszcze spotkać z czwartą prędkością kosmiczną, którą definiujemy analogicznie do dwóch poprzednich przyjmując, że jest to prędkość ucieczki z naszej Galaktyki. Wynosi ona około 350 km/s, lub uwzględniając ruch Słońca ok. 130 km/s. Niektórzy autorzy skłonni są definiować także piątą prędkość kosmiczną, jako prędkość ucieczki z wszechświata. Jej obliczenie jest jednak niemożliwe, ze względu na naszą nikłą wiedzę odnośnie jego globalnej budowy. W wątpliwość należy poddać, czy taka prędkość w ogóle może istnieć.

Z jaką prędkością liniową poruszają się orbitujące satelity

Im wyższa orbita, tym mniejsza prędkość na niej. Za to jak się chce przejść z orbity niższej na wyższą, to trzeba przyśpieszać - w rezultacie czego się zwalnia.
Taki paradoks mechaniki orbitalnej.

Fo=m*v2/r - siła dośrodkowa; v-prędkość liniowa na danej orbicie
Fg=G*m*M/r2 - siła przyciągania grawitacyjnego

Na danej orbicie obie siły są sobie równe więc:
Fo=Fg -> v=sqrt(G*M/r)

Przy przyspieszaniu impulsowym (stosunkowo krótkie odpalenia silnika o dużym ciągu), które się zwykle wykonuje teraz przy użyciu napędu chemicznego, najprościej przyspieszać dwa razy. Po pierwszym przyspieszeniu (o odpowiedniej wartości) przechodzi się na orbitę eliptyczną z perygeum w punkcie przyspieszenia (na wysokości starej orbity kołowej) i apogeum na wysokości docelowej orbity kołowej. Teraz trzeba poczekać aż się osiągnie to apogeum (przeleciawszy pół orbity). Tam się okaże, że nasza prędkość jest mniejsza od tej potrzebnej na tej wyższej orbicie kołowej (i oczywiście jeszcze mniejsza niż na naszej starej orbicie kołowej, nie mówiąc o prędkości po przyspieszeniu), więc znów trzeba przyspieszyć - dokładnie do prędkości potrzebnej na tej wyższej orbicie kołowej - i jesteśmy w domu. Przyspieszaliśmy dwa razy, a prędkość na nowej orbicie mamy mniejszą, niż na starej.
Odwrotnie postępujemy przechodząc na niższą orbitę, także korekty dokonując w dwóch punktach. Wówczas należy zmniejszyć chwilową predkość liniową (hamować), przez co zmiejszamy promień orbity i zwiększamy w rezultacie prędkość liniową względem tej, jaka była na starej - wyższej orbicie.


Co to jest "trajektoria Hohmanna"

Autorem jej jest Niemiec - Walter Hohmann (1880-1943), który w 1925 roku w swej książce "Możliwość osiągnięcia ciał kosmicznych" ("Die Erreichbarkeit der Himmelskorper") opisywał teoretyczne aspekty podróży międzyplanetarnych, twierdząc, że celem astronautyki jest dotarcie w sąsiedztwo innych ciał niebieskich.

Przeanalizawał w niej, po jakich orbitach powinny się odbywać te wyprawy, z jaką prędkością i jak długo będą trwały. Proponował odbycie podróży na Marsa po klasycznej orbicie stycznej do jego orbity, natomiast lot powrotny - po orbicie stycznej najpierw do orbity Merkurego, a następnie po przelocie koło tej planety, po stycznej do orbity Ziemi; w efekcie otrzymał skrócenie czasu podróży w porównaniu z trajektorią styczną do obu orbit. Orbitę tę nazwano "podróżą okólną Hohmanna".

Innym wynalazkiem była trajektoria minimalnoenergetyczna, charakteryzująca się tym, że start z danej planety odbywałby się w momencie, gdy planeta docelowa byłaby po drugiej stronie Słońca (koniunkcja). Trajektorię tę nazywa się dziś "trajektorią Hohmanna".
Obecnie bardzo często wykorzystują ją bezzałogowe próbniki marsjańskie, przez co możliwe jest ich wynoszenie mniejszymi rakietami nośnymi.

Czym są "punkty Lagrange'a"

Punkty Lagrange’a, zwane inaczej punktami libracyjnymi (czyli punktami równowagi), to takie punkty w układzie dwóch ciał okrążających (po orbitach zbliżonych do okręgowych) wspólny środek masy, w których równoważą się siły grawitacyjne i odśrodkowe działające na trzecie ciało, o masie pomijalnie małej, mające taki sam okres jak powyższe dwa ciała. Innymi słowy: ciało umieszczone w jednym z punktów Lagrange’a np. układu Ziemia – Księżyc, pozostaje wobec tego układu w spoczynku.

W każdym układzie istnieje pięć takich punktów. Wszystkie leżą w płaszczyźnie obiegania się ciał. Punkty L1, L2 i L3 leżą na linii łączącej ciała. L1 leży między nimi a L2 i L3 - po obu stronach układu. Punkty L4 i L5 mają swe miejsce w wierzchołkach dwóch trójkątów równobocznych, których dwa pozostałe wierzchołki to oba ciała bazowe.

Punkty L4 i L5 są całkowicie stabilne. Znaczy to, że niewielkie wytrącenie ciała z tych punktów nie powoduje, że ciało zostanie zupełnie z nich wybite. Pozstałe trzy punkty - L1, L2 i L3 - nie są tak stabilne, natomiast eliptyczne orbity leżące w płaszczyźnie prostopadłej do linii łączącej oba ciała są niemal stabilne, wymagają jedynie niewielkich korekt co pewien czas.

W punkcie L1 układu Ziemia – Słońce (a dokładniej właśnie na orbicie wokół tego punktu) umieszczone zostało obserwatorium SOHO (Solar and Heliocentric Observatory), przeprowadzające badania Słońca. Z powodu stabilności punktów L4 i L5 gromadzą się w nich różne kosmiczne "śmieci", dlatego niewskazane jest umieszczanie w nich np. aparatury badawczej. Przykładem mogą być punkty libracyjne L4 i L5 układu Jowisz – Słońce, w których znajdują się liczne planetoidy zwane Trojańczykami.

Jak definiujemy orbitę geostacjonarną (fizycznie i urzędowo)

Orbita geostacjonarna jest to wybrana orbita kołowa leżąca w płaszczyźnie równikowej, taka, że okres obiegu ciała na niej się znajdującego równy jest okresowi obrotu Ziemi (23 h 56 m 4 sec). Wysokość tej orbity wynosi 35786 km nad powierzchnią Ziemi (geoidy).

Formalnie rzecz biorąc: Obiekty są katalogowane jako geostacjonarne (GEO), jeśli kiedykolwiek podczas ich lotu czas ich obiegu wokół Ziemi zawiera się w przedziale od 23 do 25h (1380 do 1500 min.). Jest to tzw. "near-geosynchronous ring (NGEO)".

Nic nie stoi na przeszkodzie wyznaczać orbity synchroniczne dla planet czy ciał kosmicznych innych niż Ziemia.

Co to jest orbita "słonecznie synchroniczna" (Sun-synchronous)

Jest to bardzo użyteczna orbita zwłaszcza dla satelitów meteorologicznych czy geofizycznych, zbliżona w inklinacji do orbity polarnej. Umieszczony na niej satelita obiega tak Ziemię, że znajduje się on okresowo (np. co cztery dni) nad danym punktem powierzchni Ziemi w tym samym lokalnym czasie słonecznym. Umożliwia to śledzenie zmian na danym obszarze „poklatkowo” w czasie przy identycznych warunkach oświetlenia Słońcem (w odniesieniu do czasu słonecznego). Orbita takiego satelity utrzymuje się w stałej orientacji w stosunku do Ziemi i Słońca (linii Ziemia-Słońce).

Przykładem takiego satelity może być ADEOS-2 (Advanced Earth Observing Satellite 2).

Jaką prędkość osiągnę ciągle przyspieszając np. z 1g

Obliczenia są tu bardzo proste. Podstawowy wzór z TW mówi, że między przyspieszeniem bezwładnościowym (g), a zwykłym zachodzi zależność:
a = g(1 - v2/c2) (1)

wiemy także, że prędkość jest całką przyspieszenia po czasie:
całka(a*dt) = v,

czyli przyspieszenie to różniczka prędkości po czasie:
a = dv/dt

Podstawiając do (1) otrzymujemy proste równanie różniczkowe:
dv/dt = g(1 - v2/c2)
dv/(g(1 - v2/c2)) = dt

Obustronnie całkujemy:
całka(dv/(g*(1 - v2/c2))) = całka(dt)
c*arctanh(v/c)/g = t
arctanh(v/c) = t*g/c
v = tanh(t*g/c)*c (2)

I tak oto otrzymaliśmy prędkość (v) jaką osiągnie pojazd przyspieszający g przez czas równy t. Dalej wiadomo, że droga to całka z prędkości po czasie, czyli:
s^ = całka(v*dt) = całka(tanh(t*g/c)*c*dt)
s^ = całka(tanh(t*g/c)*dt)*c
s^ = ln(cosh(t*g/c))*c2/g (3)

Problem w tym, że w/w wzór pokazuje w jakim tempie przemierzamy własną przestrzeń, a ta nie ma żadnej interpretacji fizycznej, gdyż nie jesteśmy układem inercjalnym. Wiemy natomiast, że przestrzeń związana z miejscem startu jest w stosunku do naszej zagęszczona 1/sqrt(1- v2/c2)-krotnie.
Przemierzamy więc przestrzeń związaną z miejscem startu 1/sqrt(1- v2/c2)
razy szybciej niż swoją.
Aby uzyskać drogę jaką przemierzymy w przestrzeni związanej z miejscem
startu musimy więc policzyć całkę:
s = całka(v/sqrt(1 -  v2/c2)*dt)

Podstawiamy z (2) v = tanh(t*g/c)*c :
s = całka(tanh(t*g/c)*c/sqrt(1 - tanh2(t*g/c))*dt);
s = całka(1/sqrt(ctgh2(t*g/c) - 1)*dt)*c
s = całka(sinh(t*g/c)*dt)*c
s = (cosh(t*g/c) - 1)*c2/g   (4)

I tak to mamy wzór, który pokazuje jaką drogę w przestrzeni związanej z  miejscem startu przemierzymy jeśli przez czas pokładowy równy "t" będziem przyspieszać ze stałym przyspieszeniem inercjalnym "g".
Teraz wystarczy podstawiać do wzorów (2) (3) (4) g = 10m/s2, c = 300000000 m/s.

Zatem po 1. roku przyspieszania (t = 31536000 s):
v = tanh(31536000 s * 10 (m/s2) / 300000000 (m/s))*c
v = tanh(1.0512)*c
v = 0.7823c
s^ = ln(cosh(31536000 s * 10 (m/s2) / 300000000 (m/s))*c2/g
s^ = 0.4733*c2/g
s^ = 4.2598*1015 m = 0.4503 roku świetlego

s = cosh(31536000 s * 10 (m/s2) / 300000000 (m/s)) - 1)*c2/g
s = 5.4477*1015 m = 0.5758 roku świetlnego

Po drugim roku przyspieszania (t = 63072000 s) :
v = 0.9706c
s^ = 1.2817*1016 m = 1.3547 roku świetlnego
s = 2.8385*1016 m = 3.0004 roku świetlnego

Zaś po 20-tym roku przyspieszania (t = 630720000 s):
v = 0.9999999999999999995c
s^ = 1.8298*1017 m = 19.3406 roku świetlnego
s= 6.0788 * 1024 m = 642.52 mln lat świetlnych

Można sobie przyspieszać bardzo długo i z dowolnie dużym g, a i tak prędkości światła nie przekroczy się. Aby to sprawdzić - podstawcie sobie we wzorach (2) i (3) dowolnie duży czas przyspieszania (t) i dowolne (g), a zawsze otrzyma się v mniejsze od c.
 
 

2010 iwiedza