::: Iwiedza ::: - Ty tu rządzisz!

Prawa Keplera

I Prawo Keplera

Wszystkie planety Układu Słonecznego poruszają się po elipsach. W jednym z ognisk każdej elipsy znajduje się Słońce.

Uogólnienie

Wszystkie ciała niebieskie Układu Słonecznego poruszają się po krzywych stożkowych. W ogniskach tych krzywych znajduje się Słońce.


Graficzna interpretacja I-wszego Prawa Keplera


II Prawo Keplera
Promień wodzący planety zakreśla równe pola w równych odstępach czasu, innymi słowy: prędkość polowa planety jest stała.

Uogólnienie
Moment pędu planety jest stały.


Graficzna interpretacja II-giego Prawa Keplera
- pole zakreślane przez krążącą planetę - przyrost drogi w czasie Pole zakreślane przez krążącą planetę jest trójkątem, podstawmy zatem pole trójkąta:
		(6.1)
gdzie: A - pole jakie zakreśla krążąca planeta, R - promień orbity, v - prędkość liniowa planety, t - jednostka czasu. Teraz zróbmy następujący krok - pomnóżmy i podzielmy lewą stronę równania przez masę planety m :
		(6.2)
Pomnóżmy obie strony przez m, wówczas z prawej strony dalej bedziemy mieli constans
		(6.3)
Iloczyn masy i prędkości jest pędem ( ), zaś L - oznacza moment pędu
		(6.4)
Skoro moment pędu L jest stały - nie zmienia sie w czasie, to mamy:
		(6.5)

III Prawo Keplera
Drugie potęgi okresów obiegu planety wokół Słońca są wprost proporcjonalne do trzecich potęg ich średnich odległości od Słońca.
		(6.6)
R₁, R₂ - oznaczają średnie odległości planet od Słońca T₁, T₂- okresy obiegu planet wokół Słońca

Planeta krążąca wokół Słońca
Rozważmy planetę poruszającą się w polu grawitacyjnym Słońca (przy założeniu, że jej torem jest okrąg - rys. 6.3). Siła oddziaływania grawitacyjnego będzie równa sile dośrodkowej planety :

		(6.7)

Podstawiając wzór na siłę oddziaływania grawitacyjnego oraz wykorzystując zależność na przyspieszenie dośrodkowe otrzymujemy:
		(6.8)

G - stała grawitacji (patrz rozdział Ciążenie powszechne) Po uproszczeniu mamy:
		(6.9)

Wiemy, że prędkość liniowa w ruchu po okręgu z okresem T wynosi:
		(6.10)

podstawiając do wcześniejszego równania otrzymujemy :
		(6.11)

oraz przekształcając otrzymujemy:
		(6.12)

Zarówno G, jak i M sa stałymi, zatem możemy zapisać:
		(6.13)