Spadek swobodny, Rzuty

Rys. 1

Rys. 2

Prędkość ciała po określonym czasie wyraża wzór v=gt, drogę jaką przebywa ciało wzór: h=gt2/2, a odległość od początku układu (właściwie początku osi Y tego układu, oś X nas nie interesuje bo ruch zachodzi w pionie) y(t)=h1-gt2/2

vk=v0-gt 0=v0-gt /po przekształceniu/ t=v0/g Skoro w tym czasie ciało osiągnie prędkość równa zero to w tym czasie osiągnie ono maksymalną wysokość. Dlatego podstawiając powyższy wzór na czas w miejsce t we wzorze na wysokość, jaką ciało osiąga, otrzymamy wzór na wysokość maksymalną. hmax=v0t - gt2/2 hmax=v0(v0/g) - g(v0/g)2/2 hmax=v02/g - v02/2g hmax=2v02/2g - v02/2g Otrzymujemy wzór końcowy na wysokość maksymalną ciała w rzucie pionowym w górę:

Ciało znajduje się w początku osi Y (czyli pionowej osi). Czerwony wektor wskazuje kierunek działania przyśpieszenia ziemskiego g=9,81m/s2. Odległość od początku układu jest równa drodzę jaką to ciało przebywa (y(t)=h) i opisuje je wzór: h=v0t+at2/2. Przejdźmy teraz do drugiego układu (rys. 2),w którym ciało znajduje się względem niego na wysokości h1, wzór na drogę jaką pokonuje ciało to: h=v0t+at2/2, a odległość od początku układu (dokładniej początku osi Y, bo tylko ona nas interesuje w tym ruchu) y(t)=h1-v0t-at2/2

rys. 1

rys. 2

• w pionie- ruch jednostajnie przyśpieszony z prędkością początkową równą 0 (ponieważ na początku ruchu jest tylko składowa v₀ działająca w poziomie!), czyli spadek swobodny.
• w poziomie- ruch jednostajny, w którym prędkość (składowa v₁) jest w każdej chwili równa prędkości początkowej v₀

Zajmijmy się najpierw ruchem jaki zachodzi w pionie (składowa v₂), jak wcześniej wspomniałem jest to spadek swobodny (ruch jednostajnie przyśpieszony z przyśpieszeniem ziemskim g=9,81m/s), a więc prędkość początkowa w tym ruchu jest równa 0, dlatego znając wysokość z jakiej rzucono ciało, na podstawie wzoru h=gt²/2, możemy wyznaczyć czas, po którym ciało spadnie na ziemię:

A skoro w tym czasie ciało spadnie na ziemię to w tym czasie osiągnie również maksymalną odległość- zasięg rzutu. Jeżeli w poziomie odbywa się ruch jednostajny, ze stałą prędkością równą wartości prędkości początkowej (v₀=v₁) to wykorzystując wzór na drogę w tym ruchu s=vt i za czas podstawiając wcześniej przekształcony wzór, otrzymujemy wzór na zasięg rzutu poziomego (v=v₀):

W każdej chwili jesteśmy w stanie obliczyć odległość od początku układu odniesienia, prędkość ciała oraz przyśpieszenie, i tak:

• r=[v₀;h-gt²/2]
• v=[v₀;gt]
• a=[0;g]

Jesteśmy także w stanie wyznaczyć wartość prędkości v₀ w każdym momencie ruchu.(rys. 2)
rys. 2
Aby to zrobić zastosujemy twierdzenie Pitagorasa:

Po przekształceniach otrzymujemy:

Jak wiemy prędkość v₂ możemy wyliczyć ze wzoru v₂=v_2p+gt (v₂- wartość prędkości po czasie t, v_2p- wartość składowej v₂ na początku ruchu, czyli 0. I tak v₂=gt, podstawiając do wcześniejszego wzoru otrzymujemy:

A podstawiając w miejsce czasu wcześniej wyliczony wzór , otrzymamy:


Rzut ukośny

Z rzutem ukośnym spotykamy się rzucając kamieniem, czy kopiąc piłkę. Traktujemy go jako złożenie dwóch ruchów:
- jednostajnego- w poziomie
- jednostajnie opóźnionego (rzut pionowy)- w pionie

Wektor v₀ jest wektorem wypadkowym wektora v₁ oraz v₂. W poziomie odbywa się ruch jednostajny, prędkość w tym ruchu jest stała w każdej sekundzie tego ruchu i jest wyrażona wzorem v₂=s/t, natomiast w pionie ruch jednostajnie opóźniony z prędkością początkową v₁ i z opóźnieniem g (przyśpieszenie ziemskie) równym w przybliżeniu 9,81m/s², czyli po prostu jest to rzut pionowy, prędkość ciała w tym ruchu wyraża wzór v_k=v₁-gt, gdzie v_k- jest prędkością końcową, t- to czas. Drogę (w pionie) jaką przebywa to ciało wzór h=v₁t-gt²/2. Tak, więc możemy w każdej chwili obliczyć położenie, prędkość oraz przyśpieszenie ciała stosując równania, utworzone z powyższych wzorów:

• przemieszczenie
  
• prędkość
  
• przyśpieszenie
  
  Jeżeli dysponujemy wartością kąta, pod jakim rzucono ciało oraz prędkością v₀, możemy obliczyć prędkości składowe, stosując funkcje trygonometryczne:
  • sina=v₁/v₀
  • cosa=v₂/v₀
  
  Przyjrzyjmy się teraz momentowi, gdy ciało osiąga maksymalną wysokość jak widać na powyższym rysunku prędkość v₁ osiągnęła wartość 0. Wyprowadźmy teraz wzór, dzięki któremu obliczymy maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się ciało w rzucie ukośnym, aby to zrobić należy zająć się ruchem w pionie, czyli rzutem pionowym (składowa v₁), nie interesuje nas ruch poziomy (składowa v₂). Wzór na prędkość końcową w rzucie pionowym to: v_k= v₁- gt wiemy, że w chwili osiągnięcia maksymalnej wysokości, wartość składowej v₁=0, a więc: 0= v₁- gt po przekształceniu wzoru otrzymujemy: t=v₁/g jest to czas, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość. Następnie wzór na wysokość w rzucie pionowym: h=v₁t-gt²/2, za t podstawiamy wcześniej otrzymany wzór na czas, po którym ciało osiągnie maksymalną wysokość, dzięki czemu obliczana przez nas wysokość będzie wysokością maksymalną, na jaką wzniesie się ciało. I tak, po przekształceniach, otrzymujemy:
  
  jednak wzór na wysokość maksymalną, w którym musielibyśmy znać składową v₁ jest niewygodny, najczęściej w zadaniach dysponujemy prędkością v₀ oraz kątem pod jakim rzucono ciało, dlatego w miejsce v₁ wstawiamy wzór: v₀ sina=v₁ , który jest przekształceniem już wcześniej wymienianego wzoru, dzięki temu otrzymujemy:
  
  Zajmijmy się teraz wyprowadzeniem wzoru na zasięg rzutu ukośnego. Pomoże nam w tym poniższy rysunek:

  

  Wiemy, że czas wznoszenia się ciała na maksymalną wysokość jest taki sam jak czas opadania i zgodnie z obliczeniami, które wcześniej wykonaliśmy wyraża go wzór t=v₁/g, skoro tak to w tym czasie ciało pokonało połowę maksymalnej drogi w poziomie (s), która jest obliczana ze wzoru s=v₂ t, a t wynosi v₁/g, czyli:
  s=v₂v₁/g
  Zasięg rzutu (z) składa się z dwóch odcinków s, skoro tak to:
  z=2v₂v₁/g
  Ale taka forma wzoru na zasięg, w której występują prędkości składowe nie jest wygodna w użyciu, ponieważ, tak jak w przypadku wysokości maksymalnej zazwyczaj dysponujemy prędkością v₀ i kątem, pod którym rzucono ciało, dlatego wykorzystamy równości v₁= v₀ sina oraz v₀= v₂ cosa
  po przekształceniu otrzymujemy właściwy wzór: