::: Iwiedza ::: - Ty tu rządzisz!

Wektory, skalary - rodzaje wielkości fizycznych

Wektory, Skalary - wprowadzenie

W fizyce mamy najczęściej do czynienia z dwoma rodzajami wielkości fizycznych:

wielkościami skalarnymi (zwykłymi liczbami)
wielkościami wektorowymi (opisywanymi albo przez kilka lub więcej liczb, albo rysowanymi jako strzałki)

Jak poznać, czy symbol literowy wielkości oznacza wielkość wektorową, czy skalarną?

Wektory zapisuje się w podręcznikach najczęściej na dwa sposoby:

jako literę oznaczającą wielkość fizyczną ze strzałką
drukiem pogrubionym (często też pochyłym ) - np. F

Skalary w tekście, to po prostu zwykłe litery, drukowane zazwyczaj czcionką pochyłą - np. m , t, q .

Wektory - ujęcie graficzne i analityczne

Wektory przedstawia się zazwyczaj na dwa sposoby:

ujęcie graficzne: czyli strzałka na płaszczyźnie lub w przestrzeni ujęcie analityczne: układ dwóch liczb - współrzędnych (na płaszczyźnie), lub trzech liczb (w przestrzeni)	związek między dwoma ujęciami wektora - strzałką wektora (ujęcie graficzne) i liczbami opisującymi położenie początku i końca strzałki
Współrzędne wektora otrzymujemy odejmując od współrzędnych końca wektora, współrzędne początku tego wektora.	współrzędna x - owa wektora w naszym wypadku ma wartość 7 (znajdujemy różnicę współrzędnych końca i początku wektora 8-1=7) współrzędna y - owa w naszym wypadku ma wartość 4 (bo 6 - 2 = 4)

Oba te ujęcia (graficzne i analityczne) są w zasadzie równoważne, tzn. dają zgodne ze sobą wyniki. Zaletą ujęcia graficznego jest lepsze działanie na wyobraźnię, zaletą ujęcia analitycznego jest łatwość obliczeń matematycznych oraz możliwość tworzenia wektorów o więcej niż trzech wymiarach (znacznie trudniej byłoby wyobrazić sobie np. sześciowymiarowe wektory jako strzałki).

Różnice między skalarami, a wektorami

Różnica między skalarami, a wektorami jest dość subtelna. Łatwo określić, że coś jest wektorem wtedy, gdy ma więcej niż jeden wymiar. Jednak wielkość jednowymiarowa w zasadzie może być uznana zarówno za skalar jak i za wektor.

posiadają:

opisują

dostępne działania

wektory

wartość
kierunek
zwrot

i najczęściej punkt przyłożenia

wielkości działające w jakimś kierunku - np.: siła, pęd prędkość, przyspieszenie, wektor pola elektrycznego, indukcja magnetyczna

dodawanie wektorów
odejmowanie wektorów
mnożenie i dzielenie wektora przez liczbę
mnożenie skalarne wektorów
mnożenie wektorowe wektorów
znajdowanie wartości wektora

skalary

tylko wartość

i niekiedy punkt przyłożenia

wielkości bezkierunkowe - np. temperatura, masa, ładunek, gęstość, ciśnienie

dodawanie
odejmowanie
mnożenie
dzielenie
potęgowanie
funkcje trygonometryczne, logarytmiczne itp.

Korzyści i ograniczenia opisu wektorowego i skalarnego

	dodawanie	mnożenie	inne działania
w e k t o r y	dodawanie wektorów jest skomplikowane - nie można po prostu dodać ich wartości; trzeba stosować metody graficzne, lub geometrię analityczną	mamy aż trzy podstawowe rodzaje mnożenia wektorów: przez liczbę skalarne wektorowe	Wektor można dzielić, ale nie można dzielić przez wektor! , nie ma potęgowania wektorów, funkcje (trygonometryczne, logarytmiczne)nie działają na samych wektorach (wektory mogą występować jako argumenty tych funkcji ale nigdy samodzielnie - najczęściej są w parze w iloczynie skalarnym z drugim wektorem)
s k a l a r y	łatwo jest je dodawać - bo zwyczajnie dodaje się liczby	zwykłe mnożenie, ew. mnożenie przez wektor (patrz wyżej)	istnieją operatory, które pola skalarne przekształcają w pola wektorowe (ale to już "wyższa szkoła jazdy")

Jeżeli wektor pozbawimy kierunku i zwrotu, wtedy będzie on skalarem. Np. prędkość jest wektorem, ale wartość prędkości jest skalarem o wartości nieujemnej.

Wartość wektora

Operację pobierania z wektora jego wartości (tzw. moduł wektora) zapisuje się symbolicznie za pomocą kresek otaczających symbol wektora.

Wektor	wartość wektora (skalar)
siła	wartość siły, czyli liczba wyrażona w Newtonach
prędkość	wartość prędkości, czyli liczba wyrażona w m/s

Wartość jest szczególnym typem skalara, gdyż:

wartość wektora (niezerowego) jest zawsze dodatnia.

W przypadku gdy znamy współrzędne wektora, wtedy jego wartość obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

podnosimy wszystkie współrzędne do kwadratu
sumujemy uzyskane kwadraty współrzędnych
wyciągamy pierwiastek kwadratowy z sumy.

Działania na wektorach

rodzaj działania	zapis i typ wielkości wynikowej	opis wielkości wynikowej
mnożenie wektora przez liczbę Tak samo dzielenie przez liczbę.	otrzymujemy nowy wektor Aby wektor podzielić przez liczbę, mnożymy go przez odwrotność tej liczby	powstaje wektor a razy dłuższy od wektora wyjściowego zwrot wektora wynikowego jest: - taki sam jak wyjściowy, gdy a jest dodatnie - przeciwny do wyjściowego, gdy a jest ujemne Wynik może być równy zero (będzie tzw. wektorem zerowym) gdy: - wektor wyjściowy jest równy zero, lub - liczba a jest równa zero
mnożenie skalarne wektorów	otrzymujemy skalar	Powstaje liczba (skalar) o wartości równej iloczynowi wartości obu wektorów razy kosinus kąta między nimi zawartego. Lub inaczej: Iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości jednego wektora mnożonego przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek wyznaczony przez pierwszy wektor (skomplikowane jest to zdanie, ale prościej chyba się nie da...). Iloczyn skalarny stanie się równy Zero, gdy którykolwiek z wektorów wyjściowych jest zerowy, lub wektory są prostopadłe.
mnożenie wektorowe wektorów (stosuje się do wektorów w trzech wymiarach) Uwaga: w rzeczywistości efektem mnożenia wektorowego wektorów jest tensor... Ale w uproszczeniu możemy go traktować jako wektor.	otrzymujemy nowy wektor prostopadły do obu wektorów wyjściowych	- wartość wektora wynikowego jest równa iloczynowi wartości obu wektorów wyjściowych razy sinus kąta między nimi zawartego (ma to sens tylko w trzech wymiarach); - kierunek wektora wynikowego jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe; - zwrot ustalamy w oparciu o regułę śruby prawoskrętnej Interpretacja iloczynu wektorowego 2: Wartość iloczynu wektorowego jest równa iloczynowi długości pierwszego wektora przez długość rzutu drugiego wektora na kierunek prostopadły do pierwszego wektora. Wektor zerowy otrzymamy, gdy jeden z wektorów wyjściowych jest zerowy, lub gdy wyjściowe wektory są równoległe
znajdowanie wartości wektora	na płaszczyźnie: w przestrzeni: otrzymujemy skalar	Długość wektora na płaszczyźnie obliczamy stosując twierdzenie Pitagorasa. Żeby obliczyć wartość wektora trójwymiarowego trzeba zastosować to twierdzenie dwa razy. Długość wektora jest równa zero tylko wtedy, gdy wszystkie współrzędne wektora są równe zero.

Na koniec jeszcze wzory i przykłady działań na wektorach w postaci analitycznej.

Przedstawię tylko nasze dane:
liczba a	w przykładzie a = 3
i wektory:	w przykładzie:

rodzaj działania	zapis	Przykład i komentarz
mnożenie przez liczbę		3 × (2,5)=(6,15) mnożymy przez liczbę, każdą ze współrzędnych wektora.
Mnożenie skalarne wektorów	c = w x × v x + w y× v y	(2,5) × (3,-7)=6+(-35)=-29 mnożymy przez siebie współrzędne obu wektorów, a otrzymane iloczyny dodajemy
mnożenie wektorowe wektorów	To jest tylko wzór na wartość wektora!	Wartość iloczynu wektorowego wektorów (2,5) i (3,-7) \|(2,5) x (3,7)\| = \|-14 -15\|=\|-29\|=29 Aby otrzymać wartość iloczynu wektorowego, mnożymy współrzędne "na krzyż", otrzymane iloczyny odejmujemy i wyciągamy wartość bezwzględną z wyniku.
znajdowanie wartości wektora		Podnosimy współrzędne do kwadratu, wyniki dodajemy, a otrzymaną sumę pierwiastkujemy.

Istnieje oczywiście wzór na wszystkie składowe iloczynu wektorowego, ale licealnym programie fizyki nie jest on ani uwzględniony, ani wykorzystany. Pełną tabelę, łącznie ze wspomnianym wzorem, zamieszczę w ostatecznej CD - romowej wersji Słowniczka.

Rozkład wektora na kierunki składowe - rzutowanie

Każdy wektor można zrzutować na dowolny kierunek. Operacja taka pozwala na ustalenie jaka część tego wektora "przypada" na ten kierunek. Np. aby dowiedzieć się jak bardzo siła "ciągnie" w kierunku a , rzutujemy wektor na prostą a .
Najczęstszym rodzajem rzutowania jest rzut prostokątny (jest on przedstawiony na rysunku). Dla takiego rzutu kierunek rzutowania jest prostopadły do prostej, na którą rzutujemy.

Szczególny przypadek - wektor jednowymiarowy (sprawa ważna, niełatwa, a w książkach nie omawiana)

Szczególnym przypadkiem wielkości, która jest czymś pośrednim między wektorem, a skalarem, jest wektor jednowymiarowy . Jest to wielkość w fizyce bardzo ważna, bo będąc formalnie wektorem, nie posiada wad formalizmu wektorowego (kłopotliwości rachunkowych, wielu wymiarów do przekształcania) i dlatego jest bardzo często wykorzystywana. Za pomocą tej wielkości opisuje się wszystkie procesy zachodzące w jednym wymiarze. Np.

prędkość w ruchu prostoliniowym (lub po ściśle określonym torze)
przyspieszenie w ruchu prostoliniowym (lub po ściśle określonym torze)
siła w ruchu prostoliniowym (lub po ściśle określonym torze)

: Najważniejszą różnicą między wektorem jednowymiarowym z wartością wektora jest to, że wartość może być tylko dodatnia, a wektor jednowymiarowy może być zarówno dodatni, jak i ujemny.
To jaki jest znak tej wielkości zależy od Umowy Znaku Osi . Umowa ta polega na tym, że najpierw wyróżniamy jeden zwrot naszego ruchu jako dodatni. Od tej pory wszystkie wielkości mające zgodny zwrot będziemy traktować jako dodatnie. Zwrot przeciwny odpowiada oczywiście wartościom ujemnym.
Np. w sytuacji na rysunku:

V 1 jest dodatnie np. V 1 = 4
V 2 jest ujemne V 2 = -7
V 3 jest ujemne V 3 = - 4
V 4 jest dodatnie V 4 = 8

Wektory jednowymiarowe można traktować jak zwykłe liczby - można je mnożyć jak liczby, dzielić; a nawet dzielić przez taki "wektor" (napisałem go w cudzysłowie, bo jeszcze komuś przyjdzie do głowy dzielić przez inne "prawdziwe" wektory, a to jest karalne! art. 123 par. 456, coś tam 789). Jednym słowem można robić z nim wszystko co ze zwykłymi liczbami - nawet potęgować, pierwiastkować, znajdować sinusy itp.
Dzięki takiemu przedstawieniu wielkości wszystkie wzory opisujące np. ruch przyspieszony i opóźniony są identyczne, podobnie jednolicie można opisywać siły elektrostatyczne i wiele innych.

W zasadzie tylko dzięki takim jednowymiarowym wektorom można zinterpretować minus, który nagle pojawia się w wyniku obliczanej przez nas wielkości. Wartość wektora jednowymiarowego otrzymujemy biorąc po prostu wartość bezwzględną z liczby opisującej ten wektor.

W przypadku wektorów jednowymiarowych nie ma potrzeby rozważać kierunku bo jest on ustalony. Wystarczy mówić o wartości i zwrocie.

Podsumujmy zalety wektorów jednowymiarowych:

dodawanie i odejmowanie odbywa się jak zwykłe dodawanie liczb
mnożenie skalarne to zwykłe mnożenie liczb
wielkość ta może być umieszczana w mianowniku wzorów (można przez nią dzielić)

Większość problemów fizycznych o charakterze rachunkowym rozwiązuje się poprzez sprowadzenie wektorów do przypadków jednowymiarowych i tam wykonywanie już rachunków w tej prostszej postaci.

Dla ekspertów i ciekawskich, czyli zaawansowana wiedza o rachunku wektorowym

Fizycy używają jeszcze jednego, bardziej zaawansowanego typu wielkości fizycznych: tensora. Tensory są rozszerzeniem pojęcia wektora. Używa się ich do opisu odkształceń w ośrodkach, zachowania się bryły sztywnej, podczas obrotów w trzech wymiarach, w teorii pola (np. w ogólnej teorii względności Ensteina) i w wielu innych sytuacjach.

W pewnym uproszczeniu tensor możemy sobie wyobrażać jako operator działający na wektor i produkujący z niego nowy wektor o innym zwrocie, kierunku i wartości. Jest to więc więcej niż mnożenie wektora przez liczbę (taka operacja nie zmienia kierunku wektora), więcej niż mnożenie wektorowe wektorów (bo wtedy otrzymujemy zawsze wektor prostopadły do płaszyczyzny wyznaczonej przez wektory wyjściowe) i coś zupełnie innego niż mnożenie skalarne wektorów, czy znajdowanie wartości wektora (bo z tych ostatnich operacji w wyniku otrzymujemy skalar).

A oto przykład sytuacji, do opisu której niezbędny jest tensor: wyobraźmy sobie, że chcemy opisywać siłę jaka działa zwrotnie (reakcja) po zadziałaniu naszą siłą na jakąś powierzchnię. My możemy działać siłą w kierunku A, ale ponieważ powierzchnia może być ustawiona pod kątem, może sprężynować, może być mniej lub bardziej śliska, więc reakcja tej powierzchni może być pod kątem do kierunku siły pierwotnej, może powodować poślizg, czy skręcenie pod jakimś innym kątem.

Przykłady:

wektory	skalary
siła, prędkość, przyspieszenie, przesunięcie, pęd, indukcja magnetyczna, natężenie pola elektrycznego	masa, temperatura, gęstość, ciśnienie, energia, czas.