Przybornik ucznia fizyki

Odczytywanie i interpretacja wzorów.

Prawa fizyki są najczęściej zapisywane w postaci wzorów matematycznych. Dlatego niezbędną umiejętnością każdego fizyka, jest odczytywanie i interpretacja zależności tak przedstawionych.

Odczytywanie praw i wzorów

Istnieją proste reguły, które pozwalają wzór matematyczny przetłumaczyć na "język mówiony", czyli inaczej mówiąc, poprawnie przeczytać. Przy odczytywaniu praw fizycznych, stosujemy następujące zasady: jeżeli symbol pewnej wielkości występuje w liczniku wzoru, to mówimy, że wynik jest do niej wprost proporcjonalny, jeżeli występuje w mianowniku, to wynik jest do tej wielkości odwrotnie proporcjonalny.

Przykład 1

Prawo (II zasada dynamiki):

czytamy: a jest wprost proporcjonalne do F i odwrotnie proporcjonalne do m.

Przykład 2:

Prawo "Ohma"

czytamy: R jest wprost proporcjonalne do U

Odczytywanie skrótowe praw fizycznych

Wypowiadając zapisane wzorem prawo fizyczne najczęściej robimy to sposobem skróconym tzn. opuszczamy stałe fizyczne i matematyczne, a więc wielkości, które nie zmieniają się przy zmianie sytuacji np. prawo grawitacji:

odczytamy:

"F jest wprost proporcjonalne do iloczynu m₁ i m₂ i odwrotnie proporcjonalne do r kwadrat",

za G będące stałą fizyczną, przy odczytywaniu prawa pomijamy.

Odczytywanie wzorów

Gdy zachodzi potrzeba dokładnego przeczytania wzoru, np. w celu konkretnego podania jakiej wielkości, wtedy oczywiście odczytujemy całą jego treść, łącznie ze wszystkimi stałymi. Wzoru najczęściej nie odczytujemy jako "proporcjonalne do..." lecz "równe...". W przypadku prawa grawitacji, wzór je wyrażający przeczytamy:

"F jest równe iloczynowi G, m₁ i m₂ , dzielone przez r kwadrat"

Przykłady:

1. Wzór

przeczytamy: "V jest równe cztery trzecie pi R do trzeciej"

2. Wzór

(nie zawiera stałych fizycznych) można przeczytać:

- pierwszy sposób: "I jest wprost proporcjonalne do U i odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka z sumy R kwadrat plus X kwadrat", lub

- drugi sposób: "I jest wprost proporcjonalne do U i odwrotnie proporcjonalne do sumy R kwadrat plus X kwadrat do potęgi 1/2" (pierwiastek kwadratowy jest równoważny podniesieniu do potęgi o wykładniku 1/2).

3. Prawo Ohma

- czytamy: I jest proporcjonalne do U (R w tym wzorze jest stałą).

Jak z tego widać, że prawa i wzory najczęściej można przeczytać poprawnie na kilka sposobów.

Interpretacja wzorów

Ważniejszą i trudniejszą umiejętnością niż odczytywanie wzorów, jest dla fizyka prawidłowe ich interpretowanie. Interpretowanie wzorów jest procesem w dużym stopniu twórczym i wymagającym niekiedy indywidualnego podejścia, czy specjalnego pomysłu. Umiejętność nowego interpretowania znanych wcześniej wzorów doprowadzała często w przeszłości do odkryć fizycznych, lub przynajmniej naprowadzała na trop takich odkryć. Nie ma jednak prostej metody na zdobycie nagrody Nobla dzięki interpretacji wzorów z kinematyki, czy dynamiki, więc postaramy się przynajmniej o przedstawienie kilku zasad, pozwalających na interpretowanie wzorów w prostszych przypadkach. Oto one:

Wielkości wprost proporcjonalne

wzór: y=A x, gdzie A - wielkość stała, nie zależna od x.

Jeżeli jaka wielkość fizyczna "y" jest wprost proporcjonalna do innej wielkości "x" (mówimy też, że są od siebie zależne liniowo), to oznacza to, że n-krotne zwiększenie wielkości "x" spowoduje n-krotne zwiększenie wielkości "y"; oczywiście jeżeli pozostałe, występujące we wzorze wielkości nie ulegną osobnej zmianie.

Wykresem zależności proporcjonalnej jest linia prosta.

Przykład: zinterpretujmy prawo:

- z postaci wzoru wynika, że

dwukrotne zwiększenie F spowoduje automatycznie dwukrotne zwiększenie a, pięciokrotne zwiększenie F spowoduje pięciokrotne zwiększenie a; analogicznie zwiększenie 7-krotne, 12-krotne, 9,5-krotne itd.

Jeżeli F zmaleje n-krotnie, to a też zmaleje n-krotnie.

Wielkości odwrotnie proporcjonalne

czyli wielkości typu

,

gdzie A - jest stałe

gdy wielkość "y" jest odwrotnie proporcjonalna do wielkości "x" to oznacza to, że n-krotne zwiększenie "x" spowoduje n-krotne zmniejszenie "y".

Wykresem zależności odwrotnie proporcjonalnej jest hiperbola

Przykład: znów zinterpretujmy wzór

pod względem zależności F od m:

-- dwukrotne zwiększenie m spowoduje dwukrotne zmniejszenie a; analogicznie zwiększenie 3-krotne, 12-krotne, 9,5-krotne itd.

-- gdy m zmaleje n-krotnie, to a wzrośnie n-krotnie (stąd nazwa "odwrotnie" proporcjonalne).

W podsumowaniu punktów a) i b) można powiedzieć, że wzrost wielkości znajdujących się w liczniku wzoru wpływa na wzrost wyniku, za to co jest w mianowniku powoduje zmniejszanie wyniku (oczywiście nie dotyczy to sytuacji, gdy przed wzorem stoi znak "minus", bo wtedy zwiększamy wielkość "w minusy", zatem zależność będzie odwrotna).

Potęgi i pierwiastki

jeżeli jaka wielkość jest podniesiona we wzorze do n-tej potęgi { } (n>1), oznacza to, że wzrost tej wielkości wpływa na wzrost wyniku. Wpływ ten jest jednak silniejszy niż w przypadku zależności liniowej.

jeżeli jaka wielkość jest pod pierwiastkiem { }(kwadratowym, 3-ciego, n-tego stopnia) umieszczonym w liczniku, oznacza to, że wzrost tej wielkości wpływa na wzrost wyniku. Jednak wpływ ten jest słabszy niż w przypadku zależności liniowej (wielkości w pierwszej potędze). Np.:

- we wzorze , dwukrotny przyrost t spowoduje czterokrotny przyrost S.

- we wzorze , dwukrotny przyrost V spowoduje ośmiokrotny przyrost P.

- we wzorze dwukrotny wzrost l spowoduje jedynie ok. 1,4 krotny wzrost T.

Inne funkcje

Funkcja sin(a)

dla kątów do 90° sinus jest funkcją rosnącą, w związku z czym wzrost kąta powoduje wzrost sinusa. Jednak (z wyjątkiem bardzo niewielkiego przedziału od 0° do 5°, najwyżej do 8°) nie jest to wzrost proporcjonalny - dla większych kątów wartość sinusa rośnie coraz wolniej niż wartość kąta.

Funkcja tg(a)

Do 90° tangens jest funkcją rosnącą. Z tym, że dla małych kątów (od zera do 5°) przyrost jest z grubsza proporcjonalny, ale później tangens rośnie coraz szybciej, osiągając w pobliżu 90° "niebotyczne" wartości (dąży do nieskończoności).

Funkcja cos(a)

Cosinus dla małych katów jest w przybliżeniu równy 1, później za, przy wzroście kąta wartość tej funkcji maleje, aż do zera dla kąta 90°.

Funkcja logarytm log(x) lub ln(x)

Logarytm rośnie wraz ze wzrostem x, ale odbywa się to powoli i to im większy x, to tym wolniej. Np. gdy x zmienia się od 1 do 10 wtedy logarytm rośnie o 1, za gdy x rośnie od 10 do 20, wtedy logarytm rośnie tylko o ok. 0,3. Dla x mniejszego od 1, logarytm ma wartość ujemną.

Przykłady

1. we wzorze P = I²R 2-krotny wzrost I, spowoduje 4-krotny wzrost P,

3-krotny wzrost I spowoduje 9-krotny wzrost P.

2. we wzorze

2-krotny wzrost R, spowoduje 8-krotny wzrost V

3-krotny wzrost R, spowoduje 27-krotny wzrost V itd.

3. dla wzoru interpretacja zależności T od g jest następująca:

gdy g wzrasta 2 razy, to T maleje pierwiastek z 2 razy;

gdy l wzrasta 4 razy, to T maleje 2 razy itd.

Ćwiczenia

1. Dany jest wzór: (G jest stałe)

Jak zmieni się F (wzrośnie, czy zmaleje i ile razy) jeżeli:

a) m₁ wzrośnie 5 razy, a pozostałe wielkości nie zmienią się,

b) m₂ zmaleje 4 razy, a pozostałe wielkości nie zmienią się,

c) R zmaleje 4 razy, a pozostałe wielkości nie zmienią się,

d) R wzrośnie 3 razy, a pozostałe wielkości nie zmienią się,

e) R zmaleje 4 razy, a m₁ wzrośnie 2 razy,

f) m₁ zmaleje 4 razy, a m₁ wzrośnie 2 razy,

g) R zmaleje 3 razy, a m₁ wzrośnie 2 razy, a m₂ 5 razy,

h) R zmaleje 4 razy, a m₁ zmaleje 3 razy, a m₂ wzrośnie 2 razy,

i) R, m₁ i m₂ wzrosną po 14 razy,<

j) R zmaleje n razy, a m₁ wzrośnie k razy,

k) R zmaleje l razy, m₁ zmaleje n razy, a m₂ wzrośnie k razy?