Prawo powszechnego ciążenia

1. Prawo powszechnego ciążenia
2. Siła grawitacji
3. Potencjał grawitacyjny, przyspieszenie grawitacyjne i natężenie pola grawitacyjnego
4. Prędkości kosmiczne
5. Praca w polu grawitacyjnym

Co znaczą niektóre wzory:
m - masa ciała
G - stała grawitacji
R,r - odległość dwóch ciał ew. promień
Fg - ciężar ciała
g - przyspieszenie grawitacyjne
V_I - pierwsza prędkość kosmiczna
V_II - druga prędkość kosmiczna

1. Prawo powszechnego ciążenia
Definicja: Grawitacja nazywana czasami ciążeniem powszechnym to jedno z oddziaływań podstawowych wyróżnianych przez fizykę. Oddziaływanie grawitacyjne jest zależne od masy posiadanej przez poszczególne ciała i od odległości między nimi.

2. Siła grawitacji
W ujęciu klasycznym, dwa ciała obdarowane masami M i m, znajdujące się w odległości R od siebie, oddziaływują na siebie siłą o wartości danej wzorem:

Wzór na przyspieszenie grawitacyjne:
wzór

Wzór na przyspieszenie grawitacyjne
wzór

G to stała grawitacji, równa w przybliżeniu:
wzór

Dla małych odległości od Ziemi możemy przyjąć, iż czynnik GM/R² jest stały; w takim przypadku uniwersalizujemy wzór do postaci: Fg=m×g. Litera g oznacza przyspieszenie grawitacyjne, dla Polski jego ogólnie przyjęta wartość to 9,81m×s^-2.

Siła grawitacji równa jest gradientowi energii potencjalnej:

3. Potencjał grawitacyjny, przyspieszenie grawitacyjne i natężenie pola grawitacyjnego

A. Postać klasyczna
Porównując powyższy wzór do wzoru wynikającego z drugiej zasady dynamiki Newtona, otrzymujemy wzór na przyspieszenie grawitacyjne:

Jednostką przyspieszenia grawitacyjnego jest m×s^-2 - czyli innymi słowy metr przez sekundę do kwadratu.

Natężenie pola grawitacyjnego to stosunek siły grawitacyjnej, działającej na cało w polu grawitacyjnym, do masy tego ciała:

Jednostką natężenia grawitacyjnego jest N×kg^-1, chociaż wzory na natężenie i przyspieszenie w polu grawitacyjnym są sobie tożsame.
Potencjał grawitacyjny to wielkość skalarna, wyrażająca się wzorem:

B Postać różniczkowa
Natężenie pola grawitacyjnego zdefiniowane jest jako gradient potencjału grawitacyjnego:

Rozpiszmy powyższy wzór; pamiętajmy, że:

Zgodnie z definicją:

Aby obliczyć wartość wektora, posługujemy się Twierdzeniem Pitagorasa:

Rozpatrując odległość od źródła pola w jednym wymiarze, wartości wektorów w pozostałych wymiarach przyjmę wartości zerowe
(y=0 ^ z=0)

4. Prędkości kosmiczne

I prędkość kosmiczna
Definicja: Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką trzeba posiadać, aby móc orbitować wokół ciała o znanej masie M po orbicie kołowej o promieniu równym średniemu promieniowi tego ciała.

Pierwsza prędkość kosmiczna jest to prędkość, jaką trzeba posiadać, aby móc orbitować wokół ciała o znanej masie M po orbicie kołowej o promieniu równym średniemu promieniowi tego ciała.

Prędkość ta dla Ziemi wynosi około 7,91km×s^-1

Przykład zadania: Oblicz wartość pierwszej prędkości kosmicznej dla Księżyca.

Druga prędkość kosmiczna:
Definicja: Druga prędkość kosmiczna jest to najmniejsza prędkość, jaką trzeba posiadać, aby móc uciec nieskończenie daleko od ciała o znanej masie M. Ściślej - jest to najmniejsza prędkość, jaką nadać trzeba ciału na powierzchni innego ciała o masie M, aby tor jego ruchu stał się parabolą lub hiperbolą.

Drugą prędkość kosmiczną obliczamy, wykorzystując zasadę zachowania energii. Porównujemy wartości energii mechanicznej na powierzchni ciała i w nieskończoności:

Dla Ziemi wartość ta wynosi około 11,19km×s^-1

Przykład zadania: Oblicz wartość drugiej prędkości kosmicznej dla Księżyca.

5. Praca w polu grawitacyjnym
Praca w polu grawitacyjnym wykonana przez siłą zewnętrzną przeciwko siłom grawitacji wyrażona może zostać poprzez różnicę energii potencjalnych lub klasyczny iloczyn siły przez pokonaną drogę:

W małej odległości od powierzchni Ziemi:

W odległości porównywalnej z promieniem Ziemi:

Wyprowadzenie wzoru wymaga zastosowania rachunku całkowego:

Gdy ciało, mimo działania siły zewnętrznej skierowanej przeciwko sile grawitacji zostaje opuszczone, wykonana zostaje praca ujemna:

godzina...