Zasada nieoznaczoności inaczej.

Jednym z podstawowych, a jednocześnie „tajemniczych” wyników mechaniki kwantowej jest zasada nieoznaczoności. Według niej niemożliwe jest jednoczesne określenie położenia i prędkości danego obiektu z dowolną dokładnością. Ściślej, iloczyn niepewności wyznaczenia położenia i pędu p nie może być mniejszy niż połowa stałej Plancka,
=h/2=1,0546·10^-34 Js, czyli

Wynik ten jest o tyle szokujący, że w mechanice klasycznej bez dokładnej znajomości położenia i pędu nie możemy nic powiedzieć o ewolucji układu. Dlatego często w popularnych przedstawieniach mechaniki kwantowej zasada nieoznaczoności ukazywana jest, jako coś niezwykłego. W niniejszym artykule spróbujemy rozjaśnić nieco tę tajemniczość, odwołując się do prostej analogii.

z dokładnością

Ze wzoru w sposób oczywisty wynika, że im większy interwał czasu, czy też im dłuższą drogę wybieramy, tym dokładniejszy będzie pomiar prędkości. Pamiętać jednak należy, że zawsze będzie to prędkość średnia na odcinku . Innymi słowy, położenie pociągu x w chwili pomiaru znane jest z dokładnością x=l/2=n/2. Mamy więc sytuację typową dla zasady nieoznaczoności: możemy niezbyt precyzyjnie zmierzyć prędkość na krótkim odcinku, ale w dość dobrze określonym miejscu, lub uzyskać dużą dokładność pomiaru prędkości średniej, rezygnując z precyzyjnego określenia miejsca. Ujmując rzecz matematycznie,

lub w języku pędu

W mechanice kwantowej położenie cząstki można opisać za pomocą tzw. paczki falowej. Paczka falowa to fala, której amplituda jest istotnie różna od zera dla skończonej liczby okresów n, a więc w ograniczonym obszarze . Oznacza to, że prawdopodobieństwo znalezienia cząstki koncentruje się w tym właśnie obszarze. Długość fali wyznaczona, jest przez pęd p cząstki

W naszej analogii każdy wagon pociągu odpowiada jednemu okresowi takiej fali. Możemy więc podstawić (2) do (1) i otrzymamy

Pominęliśmy tu czynnik 2/4, gdyż niezbyt precyzyjna definicja i p pozwala nam jedynie na dość grube oszacowanie.

Do podobnego rezultatu możemy dojść także w inny sposób, nie posługując się bezpośrednio formalizmem falowym. Zauważmy, że uzyskana „zasada nieoznaczoności” (1) jest konsekwencją „skwantowania” drogi, którą mierzyliśmy w dyskretnych jednostkach . Podobną rolę odgrywa w mechanice kwantowej wielkość fizyczna S zwana działaniem. Zazwyczaj działanie definiujemy jako całkę względem czasu z różnicy między energią kinetyczną i potencjalną. Dla ruchu jednostajnego prostoliniowego działanie można wyrazić iloczynem pędu p i drogi l,

Według mechaniki kwantowej działanie można określić z dokładnością rzędu stałej Plancka ,

Postać kwantowomechanicznej zasady nieoznaczoności możemy zatem odgadnąć przez analogię, zastępując we wzorze (1) kwant drogi kwantem działania . Przybierze on wówczas postać

Przedstawiona analogia, choć nie jest formalnym wyprowadzeniem, dobrze ilustruje jedną z podstawowych idei mechaniki kwantowej: niemożność jednoczesnego określenia położenia i pędu z dowolną dokładnością jest wynikiem istnienia kwantu działania .