godzina...
iwiedza

Relatywistyka

Relatywistyka

Źródło: Baza Wiedzy o Kosmosie grupy pl.sci.kosmos

Do jakiej prędkości należy rozpędzić elektron aby zamienił się w czarną dziurę
Na czym polega paradoks bliźniaków
Jakie pole grawitacyjne wytwarza rotująca masa
Czy można dolecieć do Proximy Centauri w tydzień
Jak biegnie czas w orbitujących satelitach Ziemi

Do jakiej prędkości należy rozpędzić elektron aby zamienił się w czarną dziurę

Nic nie wskazuje na to, aby takie zjawisko w ogóle mogło zajść. Nieporozumienie bierze się stąd, że oblicza się „masę relatywistyczną” rozpędzonego do prędkości podświetlnej elektronu, następnie zaś, posługując się wzorem Newtona, oblicza się natężenie pola grawitacyjnego rzekomo pochodzącego od tego fotonu. Tymczasem dla prędkości podświetlnych wzór Newtona nie obowiązuje.

To, że wzór Newtona jest tylko przybliżeniem wzorów OTW słusznym dla małych mas i małych prędkości grawitujących obiektów, wynika wprost z równań OTW. Osoby nie znające OTW mogą - dla wyrobienia sobie właściwej intuicji - posłużyć się pewnym eksperymentem myślowym. Wyobraźmy sobie dwa punkty materialne w pustej przestrzeni, oddalone od siebie o r. Punkty te łączymy nieważką sprężyną o długości swobodnej tak dobranej, aby siła reakcji ściśniętej sprężyny równoważyła grawitacyjne przyciąganie mas. Opiszmy ten układ z punktu widzenia obserwatora poruszającego się ze znaczną prędkością v prostopadle do prostej łączącej oba punkty materialne. Ponieważ odcinek łączący rozważane punkty materialne jest prostopadły do kierunku ruchu obserwatora, jego długość nie ulega skróceniu w układzie poruszającym się - obserwator stwierdza, że punkty materialne nadal pozostają w odległości r.
Jednak z punktu widzenia układu poruszającego się oba punkty materialne mają znaczne „masy relatywistyczne” - gdyby można było używać wzoru Newtona z „masami relatywistycznymi”, oba punkty (opisywane w układzie poruszającym się) przyciągałyby się z siłą znacznie większą niż w układzie spoczynkowym, a zatem zgniotłyby łączącą je sprężynkę i zbliżyły do siebie na odległość mniejszą niż r. Niczego takiego jednak nie obserwujemy.

Wniosek stąd taki, iż wstawianie „masy relatywistycznej” do wzoru Newtona jest fizycznie nieuzasadnione. (Rozumowanie przedstawione w tym paragrafie nie jest ścisłe, ma tylko charakter intuicyjny.)

 

Na czym polega paradoks bliźniaków

Problem polega na tym, że według Teorii Względności Einsteina wszystkie układy odniesienia są równoprawne, więc jeśli jeden z bliźniaków wyruszy w relatywistyczną podróż kosmiczną, a drugi zostanie na Ziemi, to względem jednego Ziemia będzie się poruszać, a względem drugiego lecący brat-bliźniak. Rachunki jednak mówią, że będą starzeć się nierównomiernie. Który postarzeje się szybciej ?

Oczywiście, postarzeje się brat nieruchomy. Dlaczego? Ano dlatego, że zachodzą tutaj zmiany układu inercjalnego, używanego przez poruszającego się brata. Przyspiesza on i zwalnia, doznaje działania bezwładności, itp. Brat stojący znajduje się natomiast stale w jednym układzie inercjalnym. Widać więc, że sytuacja nie jest symetryczna.

Właśnie ta raptowna zmiana układu inercjalnego jest sednem określenia, który brat będzie starszy.

Można też i dowodzić inaczej, że nie można synchronizować zegarów w układach nieinercjalnych posługując się transformacja Lorentza, co w omawianym przypadku zachodzi, a rozwiązania liczone zgodnie z OTW daja właśnie takie rezultaty.

Szczegółowa dyskusja paradoksu bliźniąt, ze ścisłym wprowadzeniem w geometryczną postać STW (co jest podstawą intuicyjnego wnioskowania na tematy relatywistyczne) można znaleźć u Schutza we "Wstępie do ogólnej teorii względności". Niekoniecznie polecamy książki popularnonaukowe, mające naszym zdaniem czasem zbyt wielkie tendencje do upraszczania, co prowadzi do wypaczenia rozumienia problemu.

 

Jakie pole grawitacyjne wytwarza rotująca masa

Weźmy dla przykładu układ Ziemia-Księżyc: w przypadku przyciagąnia się Ziemi i Księżyca poprawki są rzeczywiście niemierzalne. Tym niemniej pole grawitacyjne wokół rotującej Ziemi jest troszkę inne niż byłoby, gdyby Ziemia się nie obracała. Te różnice można obliczyć, a ich wynikiem jest pewien efekt noszący nazwę efektu Lense-Tirringa, do którego wykrycia przymierzano się już ćwierć wieku temu. Polega on na tym, że, jak to się w branży ogólnorelatywistycznej określa, lokalne układy inercjalne podlegają "wleczeniu" przez stacjonarne pole grawitacyjne związane z rotującą masą. Objawia się to tym, że gdybyśmy umieścili na orbicie wokółziemskiej swobodnie wirujący żyroskop, to jego oś obrotu ulegałaby powolnej precesji względem "reszty świata" (zmieniałby się kierunek osi obrotu względem gwiazd). Taka precesja nie wystąpiłaby w przypadku orbitowania żyroskopu wokół statycznego grawitującego ciała.
Nie należy tutaj mylić tej precesji z tradycyjną precesją wywołaną przez moment skręcajacy. Ten żyroskop byłby wykonany jako "idealnie" wypolerowana szafirowa kulka, a w takim przypadku moment skręcający praktycznie można wyeliminować.
Efekt jest bardzo mały (jakieś sekundy czy ułamki sekund łuku na stulecie), ale ocenia się, że byłby możliwy do zaobserwowania. Na przeszkodzie jak dotychczas stały kwestie finansowe, gdyż nie było odważnego, który podjąłby decyzję o wydatkowaniu kilkuset milionów dolarów na orbitalny eksperyment, którego wynik interesuje i tak znikome grono fachowców. Zaobserwowano także zmiany w promieniowaniu pulsarów znajdujących się w ciasnych układach podwójnych, które najprościej można interpretowac jako przejaw działania efektu Lense-Tirringa. Tak więc wygląda na to, że orbitalny eksperyment potwierdziłby za wielkie pieniądze efekt, w który ludzie z branży i tak wierzą. Tym niemniej, eksperyment taki ma wykonać satelita NASA Gravity Probe-B, który wystartował w kwietniu 2004.

Całkowanie T00 grawitującego ciała nie da wartości jego masy rejestrowanej przez odległego obserwatora. Masa widziana "z nieskończoności" jest wypadkowym efektem wzajemnych relacji pomiędzy lokanym rozkładem energii-pędu oraz geometrią czasoprzestrzeni reprezentującej pole grawitacyjne, a sumaryczny wynik zależy od globalnej natury tego pola i rozkładu masy. Finał tych współzależności jest taki, że z daleka widzimy ("czujemy" grawitacyjnie) mniejszą masę niż wynikałoby to z prostego podsumowania mas cząstek tworzących ciało. W zwykłych sytuacjach (planety, "normalne" gwiazdy) ten grawitacyjny defekt masy jest nieistotny, ale już przy konstrukcji modeli gwiazd neutronowych odgrywa zasadniczą rolę. W przypadkach rzeczywiście skrajnych sytuacji kosmologicznych (kwazary, aktywne jądra galaktyk) grawitacyjny defekt masy jest, jak się na ogół uważa, jedyną rozsądną koncepcją wyjaśnienia źródła kolosalnych ilości energii wyzwalanych w tych procesach.

 

Czy można dolecieć do Proximy Centauri w tydzień

Ponieważ szczególna teoria względności nakłada ograniczenie na maksymalną prędkość równą prędkości światła, wielu ludzi skłonnych jest sądzić, że loty, do odległych o tysiące lat świetlnych gwiazd, trwać muszą całe epoki.
Jednakże zapominają oni o innych aspektach tej teorii, mianowicie dylatacji czasu i relatywistycznemu skróceniu. W istocie oddalająca się od Ziemi rakieta ulega obserwowanemu skróceniu. Jednakże efekt jest zupełnie symetryczny i z punktu widzenia rakiety skróceniu ulegnie wszystko, co jest względem niej w ruchu. Efektowi temu ulegnie więc zarówno Ziemia, gwiazda docelowa, jak i droga do przebycia.
Odległość z Ziemi do Proximy w układzie Ziemi to trochę więcej niż cztery lata świetlne. Jednakże dla rakiety poruszającej się z v=0,9999887c, odległość ta skróci się do tygodnia świetlnego, dzięki czemu doleci ona na Proximę w tydzień czasu pokładowego. Czy nie ma tu jednak jakiegoś paradoksu? Skoro w układzie Ziemi rakieta pokonuje cztery lata świetlne w tydzień, to znaczy, że porusza się z prędkością równą 208c (tyle tygodni mają 4 lata). A wcześniej założyliśmy, że porusza się z v=0,9999887c. Otóż prawdziwa jest ta druga prędkość. Z tego wniosek, że w układzie Ziemi rakieta nadal potrzebuje czterech lat, aby dotrzeć na Proximę. Rolę gra tutaj dylatacja czasu. Po prostu w rakiecie, obserwowanej z Ziemi, czas płynie dokładnie 208 razy wolniej, wiec po czterech latach lotu minie tam zaledwie tydzień. Czyli dzięki szczególnej teorii względności możemy dolecieć dowolnie daleko w dowolnie krótkim czasie pokładowym. Możemy w sekundę zwiedzić inną galaktykę i wrócić na Ziemię, jednak wtedy miną na niej miliony lat. Problemem pozostają jednak koszty energetyczne i przeciążenia.
W chwili obecnej wydaje się niemożliwym uzyskać źródło energii pozwalające dostatecznie zbliżyć się do c (a im jesteśmy bliżej, tym trudnej przyspieszyć). Najefektywniejszym sposobem magazynowania energii jest równa ilość materii i antymaterii. Nawet jeśli uda się wytworzyć tak ogromne ilości energii i zbudować silnik fotonowy, to masy paliwa potrzebnego na międzygwiezdny lot, w rozsądnym czasie, będą sięgały tysięcy mas samego statku. Warto tutaj zwrócić uwagę na dwie rzeczy:
Po pierwsze omawiane efekty są efektami rzeczywistymi. Niektórym ludziom wydaje się, że to jedynie efekt obserwacji przy pomocy fal elektromagnetycznych - tzn. złudzenie optyczne. Nie jest to prawdą. Efekty te są jak najbardziej realne i weryfikowalne w dowolnym doświadczeniu, niekoniecznie elektromagnetycznym.
Po drugie - można by zapytać: skoro wszystkie układy są równouprawnione i symetryczne, to czy nie powinno być tak, że z punktu widzenia rakiety to na Ziemi czas ulega spowolnieniu, więc w momencie dotarcia do Proximy po tygodniu, na Ziemi powinno upłynąć zaledwie 50 minut (skoro Ziemia oddala się z prędkością v=0,9999887c to czas płynie na niej 208 razy wolniej niż w rakiecie!)? Daje to oczywisty paradoks, skoro na Ziemi upływają 4 lata. Odpowiedź to - i tak, i nie. Rozumowanie to jest poprawne, ale nie do końca, gdyż układy nie są równoważne. Rakieta przyspiesza i hamuje i wtedy dodatkowo podlega, już niesymetrycznej względem Ziemi, dylatacji czasu. Okazuje się, że gdy uwzględnić te efekty, to wszystko do siebie pasuje.

 

Jak biegnie czas w orbitujących satelitach Ziemi

Dylatacja czasu zachodząca na satelitach Ziemi (w ogólności dowolnego ciała kosmicznego) warunkowana jest dwoma przeciwstawnymi efektami relatywistycznymi:
  • wpływowi pola grawitacyjnego Ziemi,
  • dylatacją wynikającą z ruchu (oczywiście względnego) ciała.
Ziemię można w przybliżeniu traktować jako grawitujące ciało o sferycznie-symetrycznym rozkładzie masy. Pomijając "niewielkie" komplikacje wynikające z tego, że Ziemia znajduje się w polu grawitacyjnym Słońca, a i wpływy Księżyca bywają w dokładnych analizach warte uwagi, można założyć, że w strefie kilkudziesięciu tysięcy kilometrów od środka Ziemi jej pole grawitacyjne dobrze opisuje się za pomocą rozwiązania Schwarzschilda z ogólnej teorii względności. Tutaj istotne są następujące wnioski wynikające z tego rozwiązania:
  • Jest to rozwiązanie opisujące sytuację statycznego pola grawitacyjnego (nie jest to do końca poprawny opis, bo Ziemia jednak rotuje, ale poprawki związane z rotacją są praktycznie zaniedbywalne).
  • Można wprowadzić współrzędną t, która ma sens czasu dla obszarów dalekich od środka Ziemi ("w nieskończoności").
Dla ciała, które spoczywa w punkcie x upływ czasu związany z tempem procesów fizycznych zachodzących w tym miejscu (w szczególności tykanie zegarów) związany jest z upływem czasu "w nieskończoności" poprzez wyrażenie

(1) ΔT(x) = sqrt(g00) · Δt
gdzie g00 jest jedną ze składowych tensora metrycznego opisującego rozwiązanie Schwarzschilda.

Jeżeli ciało to dodatkowo porusza się względem punktu x z prędkością V, to dojdzie jeszcze dodatkowy efekt dylatacji czasu znany ze szczególnej teorii względności, co da wynik:

(2) ΔT(x,V) = sqrt(g00) · sqrt(1-V2/c2) · Δt

Gdy teraz zastosujemy ten wzór do porównania tempa chodu zegara na satelicie i na Ziemi, to dostaniemy najpierw dwa równania:

(3) ΔT(Rsat,Vsat) = sqrt(g00(Rsat)) · sqrt(1-Vsat2/c2) · Δt

(4) ΔT(RZiemi,VZiemi) = sqrt(g00(RZiemi)) · sqrt(1-VZiemi2/c2) · Δt

Po podzieleniu stronami skraca się Δt, a pozostaje stosunek upływów czasu na satelicie i na Ziemi.

Reszta to już proste podstawienia i rachunki zaniedbujące niektóre (małe) wielkości. W ogólnym przypadku w rozwiązaniu Schwarzschilda:

g00 = 1 - 2MG/(Rc2) gdzie M jest masą Ziemi.

Ale ponieważ 2MG/(Rc2) jest bardzo małe, to:

sqrt(g00) = 1 - MG/(Rc2)

Także sqrt(1 - V2/c2) = 1 - V2/(2c2) ze względu na małą wartość V w stosunku do c.

Tak więc ostatecznie dostajemy:

(5) ΔT(Rsat, Vsat) / ΔT(RZiemi, VZiemi) = 1 - (Vsat2 - VZiemi2)/(2c2) - MG(1/Rsat - 1/RZiemi)/c2

(skorzystano tu z uproszczeń: 1/(1-a) = 1+a zachodzącego dla małych a, aby z ilorazu typu (1-a1)/(1-a2) dostać 1-a1+a2; wcześniej oczywiście także z (1-b1)(1-b2) = 1-b1-b2 zachodzącego dla małych b1 i b2).

Oznaczmy TZiemi = ΔT(RZiemi, VZiemi), a także Tsat = ΔT(Rsat, Vsat), ponadto oznaczmy:
(6) epsilon = (Vsat2 - VZiemi2)/(2c2) - MG(1/Rsat - 1/RZiemi)/c2
Korzystając w wyżej wyprowadzonych zależności porządkujemy równanie:

(7) Tsat = TZiemi - epsilon · TZiemi
gdzie:
Tsat - czas jaki upłynął na satelicie wtedy, gdy na Ziemi upłynął czas TZiemi.

Miarą różnicy tempa chodu zegarów jest poprawka epsilon, która wynosi według (6):

(8) epsilon=(Vsat2-VZiemi2)/(2c2)+MG(1/Rsat-1/RZiemi)/c2
gdzie:
Vsat - prędkość satelity w układzie inercjalnym ze środkiem w środku masy Ziemi,
VZiemi - prędkość zegara na powierzchni Ziemi w tym samym układzie,
M - masa Ziemi, G - stała grawitacji,
Rsat - odległość satelity od środka masy Ziemi,
RZiemi - odległość zegara na Ziemi od środka masy Ziemi.

Wzór ten jest przybliżeniem nie uwzględniającym tego, że w rzeczywistości Ziemia nie jest sferycznie symetryczna ale jest zbliżona do elipsoidy. W zastosowaniach takich jak GPS odgrywa to już znaczenie i odbiorniki GPS wyliczają dodatkowe poprawki związane z tym faktem. Tym niemniej, z bardzo dobrym przybliżeniem podane wzory pozwalają na praktyczne przeliczenie wzajemnych różnic tempa chodu zegarów których dotyczyło pytanie.

Można zauważyć, że dwa fragmenty wyrażenia na epsilon konkurują ze sobą i znak wyniku zależy od promienia orbity satelity. Można dość łatwo wyrachować, że gdy zaniedbamy VZiemi to wynik wyzeruje się dla Rsat = (3/2)·RZiemi (zachodzi to dla Rsat = 9567 km). Jeśli interesuje nas satelita na orbicie kołowej, to:

(9) mVsat2/Rsat = mMG/Rsat2, czyli Vsat2 = MG/Rsat
gdzie: m - masa satelity

Wartość epsilon wtedy znika i zegar na satelicie "cyka" w tym samym rytmie co ten, który pozostał na Ziemi. Dla satelitów na niższych orbitach "cyka" on wolniej, a dla tych na orbitach wyższych - szybciej.

Dla przykładu: satelity GPS mają promień orbity ok. 20000 km, więc ich zegary "cykają" szybciej, niż te na Ziemi. W przypadku satelitów geostacjonarnych różnica ta jest jeszcze większa. Największa różnica jest oczywiście dla satelitów na niskich orbitach, gdyż tam człon z Vsat2 jest dominujący.

 

 

 

 

2006 iwiedza