Zadanie

Zadanie. Sprężyna.

Dwa wahadła matematyczne o długości d i masie m każde połączono za pomocą słabej nieważkiej i nieodkształconej sprężyny o współczynniku sprężystości k (rys.1.). Znaleźć okres małych drgań w przypadkach:

a) każde wahadło odchylono o kąt w prawo od położenia równowagi,
b) pierwsze wahadło odchylono o kąt  w prawo, drugie o kąt  w lewo od położenia równowagi,
c) odchylono tylko pierwsze wahadło o kąt  w prawo od położenia równowagi. Oblicz w tym punkcie również odstęp czasu, jaki upłynął pomiędzy chwilami czasu, kiedy jedno wahadło przestaje drgać, a drugie wykazuje maksymalne drgania.

Rozwiązanie

Dane:

Szukane

Rozwiązanie

Dla małych kątów suma momentów siły ciężkości i siły sprężystości względem osi obrotu dla lewego wahadła wynosi (rys.2.):

Stąd równanie ruchu obrotowego tego wahadła ma postać

 

Podobnie otrzymamy dla drugiego wahadła i będziemy mieli układ równań

              [1]

              [2]

Oznaczając
 

oraz dodając lub odejmując stronami równania (1) i (2) dostaniemy
                       [3]

           [4]

Widzimy więc, że
 
i
 
spełniają równanie ruchu harmonicznego prostego. Ogólne

rozwiązania dla
 
i
  
można przedstawić w postaci trygonometrycznej (patrz zadanie ze sprężyną)

    [5]

             [6]

Założenia zadania sugerują następujące warunki początkowe:

 

Z równań (5), (6) i warunków początkowych mamy

                   [7]

                    [8]

Układ równań (7) i (8) pozwala obliczyć  i  

                [9]

                [10]

 

Dyskusja poszczególnych przypadków.

a) tu  i , więc z [9] i [10]  mamy

Sprężyna nie wpływa na ruch wahadeł matematycznych.

b) tu  i , więc z [9] i [10]  mamy


Sprężyna jest odkształcona, więc wpływa na ruch wahadeł, które drgają w przeciwfazie z częstością

jednak wpływ ten jest niewielki, ponieważ sprężyna jest słaba i częstość drgań wahadeł jest bliska

c) tu  i , więc z [9] i [10]  mamy

              [11]

             [12]

Mamy tu do czynienia ze zjawiskiem dudnień, gdyż  i  niewiele się różnią od

siebie (sprężyna jest słaba), aby to uwidocznić wygodnie jest przedstawić równania (11) i (12)

             [13]

             [14]

Częstość  równanie (4) można przedstawić w formie

 ponieważ
 
(sprężyna jest słaba), wtedy równania (13) i (14) przyjmą postać

,  

,   

Moduły A₁(t) i A₂(t) są wolno zmiennymi w czasie amplitudami kątowymi odchyleń wahadeł od położenia równowagi. Okres dudnień T_d określimy z równania

       

gdyż okres funkcji |cos(x)|wynosi  Odstęp czasu T₁₂ pomiędzy maksymalnymi drganiami poszczególnych wahadeł wynosi