Zadania - Relatywistyka

2006-11-17 Ostatnia modyfikacja.

Zadanie

Zadanie. Relatywistyka.

Czy można znaleźć taki układ odniesienia, w którym Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem zaszłyby:

a) w tym samym miejscu,

b) w tym samym czasie?

Rozwiązanie

Załóżmy, że Gniezno, w którym odbył się w roku 966 (chwila czasu t₁) Chrzest Polski, ma w przestrzeni w układzie współrzędnych związanym z Ziemią położenie x₁, natomiast w chwili czasu t₂ (1410 rok) odbyła się w punkcie o współrzędnej x₂ Bitwa pod Grunwaldem. Wiemy, że w układzie współrzędnych związanym z Ziemią oba zdarzenia zaszły w innych miejscach i innym czasie. Załóżmy, że istnieje jakiś inny układ odniesienia, poruszający się względem naszego z prędkością v. Przyjmijmy, że w tym nowym układzie współrzędnych Chrzest Polski miał miejsce w punkcie x₁' w chwili czasu t₁', zaś Bitwa pod Grunwaldem w punkcie x₂' w chwili t₂'.

(a) Zgodnie z transformacją Lorentza:

(1) ,

W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym miejscu, czyli:

Wówczas prawe strony równań (1) też będą sobie równe:

skąd:

(2)

Układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym miejscu przestrzeni musiałby poruszać się względem naszego układu z prędkością v opisaną wzorem (2).

(b) Zgodnie z transformacją Lorentza:

(3) ,

W nowym układzie współrzędnych oba zdarzenia miałyby zajść w tym samym czasie, czyli:

Wówczas prawe strony równań (3) też będą sobie równe:

skąd:

(4)

Otrzymana prędkość (4) nowego układu współrzędnych jest większa od prędkości światła w próżni, czyli układ, w którym oba zdarzenia zaszłyby w tym samym czasie nie istnieje.