2008-05-26 Ostatnia modyfikacja.
Zadanie
Zadanie. 
Ruch w polu grawitacyjnym.
Znaleźć prędkość, jaką należy nadać ciału na Księżycu, by mogło ono oddalić się z powierzchni Księżyca
do nieskończoności.
Masa Księżyca wynosi Mk, promień Księżyca równy jest
Rk.
Rozwiązanie
Rozwiązanie
W zagadnieniu tego typu występuje siła grawitacyjna zależna od odległości od Księżyca. Najwygodniej więc użyć zależności wykorzystujących potencjalność pola grawitacyjnego.
Energia całkowita ciała wyrzuconego na Księżycu z prędkością v pozostaje stała podczas jego ruchu oraz jest równa sumie energii potencjalnej i kinetycznej ciała w każdym momencie ruchu.
Grawitacyjna energia potencjalna w odległości r od środka Księżyca wyraża się wzorem:
Energię kinetyczną ciała w tym samym punkcie przestrzeni opisuje wzór:
gdzie v[r] oznacza prędkość w chwili, gdy odległość ciała od środka Księżyca wynosi r.
Łącząc te zapisy otrzymamy warunek stałości energii całkowitej jako:
Warunek mówiący o oddaleniu się ciała do nieskończoności określa końcową energię potencjalną ciała równą:
Zakładając, że szukamy najmniejszej możliwej prędkości, która nadana ciału umożliwi mu oddalenie się do nieskończoności przyjmujemy, że ciało zatrzyma się w nieskończoności, czyli jego energia kinetyczna:
Porównując energię początkową po wyrzuceniu, czyli sumę energii potencjalnej na powierzchni Księżyca oraz kinetycznej ruchu z poszukiwaną prędkością v z energią końcową otrzymamy związek:
Stąd otrzymujemy warunek spełniony przez prędkość v:
Nie zależy on od masy wyrzucanego ciała. Jego prędkość wynosi:
Odpowiedź
Prędkość nadana cząstce wynosi
Dyskusja