iwiedza - Zadania - Hydrodynamika i hydrostatyka

2007-03-30 Ostatnia modyfikacja.

Zadanie

Zadanie. Hydrodynamika i hydrostatyka.

Na wysokości 5km ciśnienie atmosferyczne jest 2 razy mniejsze jak przy powierzchni planety. Ile razy jest mniejsze na wysokości 10km?

Rozwiązanie

Dane

Szukane

Rozwiązanie

Problem postawiony w zadaniu można rozwiązać bardzo szybko, ale najpierw trzeba znać tzw. wzór barometryczny. Poniżej przedstawimy jak go wyprowadzić.

Wzór barometryczny.
Rozważmy problem zmiany ciśnienia w gazie wraz z wysokością. Wprowadźmy układ współrzędnych z osią x skierowaną pionowo w górę. Wydzielmy teraz myślowo wewnątrz gazu prostopadłościan o podstawie dS i wysokości dx.
Objętość tego "pudełeczka" jest równa dV = dS ^. dx a masa zawartego w nim gazu równa

gdzie jest gęstością gazu.

W równowadze na wybrany prostopadłościan działają trzy siły:

- na denko dolne, znajdujące się na poziomie x, działa w górę siła
,
wywołana panującym tam ciśnieniem p(x). Ma ona wartość

- na denko górne, znajdujące się na poziomie x + dx, działa w dół siła o wartości

- siła przyciągania ziemskiego, działająca w dół na masę dm

g jest przyspieszeniem ziemskim (na poziomie x).

W warunkach równowagi F₁ = F₂ + F₃. Napiszemy tę równość, dzieląc od razu wszystkie trzy człony przez dS:

czyli

albo

(1)

We wzorze (1) napisaliśmy wprost, że gęstość substancji też może być funkcją x, bo - jak wiemy - jest w ogólności funkcją ciśnienia p. Dla małych dx możemy napisać symbol pochodnej:

(2)

Aby opisać zależność ciśnienia od wysokości w gazach wykorzystamy równanie (2) oraz przyjmiemy następujące założenia: - przyjmiemy, że temperatura gazu jest stała i równa 0⁰C;

- założymy, że gaz spełnia prawo Boyle'a-Mariotte'a, które zapiszemy w postaci

(3)

gdzie p₀ jest ciśnieniem na poziomie morza, V₀ jest objętością, jaką zajmuje ustalona masa gazu m na poziomie morza.

Możemy teraz podzielić m przez obie strony (3) i zauważyć, że
.
Dostajemy wtedy